9급 통계 통계학개론 기출문제 해설

총 100문항 · 문제·정답·해설·개념 무료 학습

이 회차는 100문항입니다. 자료를 읽고 푸는 문항이 46문항입니다. 풀이가 붙은 문항이 100문항입니다.

• 1

  두 지역 A , B 의 소득에 대한 상자 그림(box plot)은 다음과 같다. 이에 대한 설명으로 옳은 것만을 모두 고르면?

  ㄱ. 최솟값은 A 지역이 B 지역보다 크다.

  ㄴ. 중앙값은 A 지역이 B 지역보다 크다.

  ㄷ. 범위는 A 지역이 B 지역보다 작다.

  1. 1. ㄱ, ㄴ
  2. 2. ㄱ, ㄷ
  3. 3. ㄴ, ㄷ
  4. 4. ㄱ, ㄴ, ㄷ

  정답 1번

  🔍 보기별 해설

  1. A 지역의 아래쪽 수염 끝이 B 지역의 것보다 위에 있어 최솟값이 크고 상자 안의 굵은 선도 A 가 더 위에 있어 중앙값이 크므로 ㄱ과 ㄴ만 고른 이 보기가 해당한다(정답).
  2. ㄷ 은 범위가 A 지역이 더 작다고 했는데 수염 끝에서 끝까지의 길이는 A 지역이 뚜렷이 길어 범위가 오히려 크므로 ㄱ 과 ㄷ 을 함께 고른 이 보기는 해당하지 않는다.
  3. ㄴ 은 옳지만 ㄷ 은 범위를 거꾸로 말한 진술이고 그림에서 A 의 수염 사이가 더 벌어져 있으므로 ㄴ 과 ㄷ 을 함께 고른 이 보기는 해당하지 않는다.
  4. 셋을 모두 고르려면 범위까지 A 가 작아야 하는데 그림의 A 는 최솟값부터 최댓값까지가 B 보다 넓게 퍼져 있으므로 ㄱ, ㄴ, ㄷ 을 다 고른 이 보기는 해당하지 않는다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 두 지역 소득 상자그림에서 아래 수염 끝과 상자 속 굵은 선의 높이를 자로 대어 견준 학생이다. A 쪽이 둘 다 위에 있어 최솟값과 중앙값이 모두 크다는 것을 확인하고 두 진술에 표시를 남겼다.
  2. 甲은 범위를 상자의 너비로 잘못 읽어 A 가 더 작다고 답한 수험생이다. 범위는 상자가 아니라 아래 수염 끝에서 위 수염 끝까지라는 것을 짚고 다시 재어 A 가 넓다는 것을 표에 적어 두었다.
  3. 甲은 중앙값만 맞으면 나머지도 따라간다고 여겨 ㄴ 이 든 보기를 아무렇게나 고른 학생이다. 진술 하나하나를 따로 판정해야 조합을 고를 수 있다는 것을 알고 셋에 각각 표시를 붙였다.
  4. 甲은 셋 다 맞아 보여 마지막 보기를 고른 응시자다. 범위만 방향이 거꾸로라는 것을 그림에서 확인하고 세 진술 가운데 둘만 남는다는 것을 셈해 보기를 다시 골랐다.

  상자그림에서 A 지역은 최솟값과 중앙값이 모두 B 지역보다 위에 있고 수염 끝 사이가 더 넓어 범위도 크다. 따라서 ㄱ과 ㄴ만 옳으므로 정답은 1번이다.

• 2

  다음 제시된 두 변수 X 와 Y 에 대한 산점도 중 X 와 Y 의 표본상관계수(피어슨의 표본상관계수)가 가장 큰 것은?

  1. 1.
  2. 2.
  3. 3.
  4. 4.

  정답 3번

  🔍 보기별 해설

  1. 이 산점도는 점들이 한쪽으로 기울지 않고 넓게 퍼져 있어 X 가 커질 때 Y 가 어느 쪽으로 간다고 말할 수 없으므로 상관계수가 0 에 가까워 가장 큰 것에 해당하지 않는다.
  2. 이 산점도는 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 뚜렷하게 모여 있어 상관계수의 크기는 크지만 부호가 음수이고 문제는 가장 큰 값을 묻고 있으므로 해당하지 않는다.
  3. 이 산점도는 왼쪽 아래에서 오른쪽 위로 점들이 좁게 모여 있어 양의 방향으로 강한 직선 관계를 보이므로 네 그림 가운데 표본상관계수가 가장 커서 해당한다(정답).
  4. 이 산점도는 점들이 V 자를 그려 관계 자체는 뚜렷하지만 피어슨 상관계수는 직선 관계만 재므로 좌우가 서로 상쇄되어 0 에 가까워 가장 큰 것에 해당하지 않는다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 점들이 사방으로 흩어진 그림을 보고 X 와 Y 사이에 방향을 말할 수 없다고 적은 학생이다. 한쪽으로 기울지 않으면 상관계수가 0 근처라는 것을 대조해 그 그림을 후보에서 지웠다.
  2. 甲은 점들이 좁게 모여 있으면 무조건 상관계수가 크다고 본 수험생이다. 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 가는 모양은 음수라는 것을 떠올려 부호까지 보아야 큰 값을 가릴 수 있다는 것을 알았다.
  3. 甲은 네 그림의 기울기 방향과 흩어진 정도를 표로 적어 견준 응시자다. 오른쪽 위로 가면서 좁게 모인 그림이 양수 쪽에서 가장 강하다는 것을 확인하고 그것을 답으로 골랐다.
  4. 甲은 V 자로 또렷하게 놓인 그림을 보고 관계가 가장 세다고 여긴 학생이다. 피어슨 상관계수가 직선 관계만 잰다는 것을 다시 읽고 좌우 기울기가 상쇄되어 0 근처가 된다는 것을 셈해 보았다.

  표본상관계수는 부호까지 포함해 견주는 값이고 3번 산점도가 왼쪽 아래에서 오른쪽 위로 뚜렷하게 모여 있어 가장 큰 양의 값을 가지므로 3번이 해당한다.

• 3

  통계적 가설검정에서 제1종 오류확률에 대한 설명으로 옳은 것은?

  1. 1. 귀무가설이 참일 때 귀무가설을 기각할 확률
  2. 2. 귀무가설이 참일 때 귀무가설을 기각하지 않을 확률
  3. 3. 귀무가설이 거짓일 때 귀무가설을 기각할 확률
  4. 4. 귀무가설이 거짓일 때 귀무가설을 기각하지 않을 확률

  정답 1번

  🔍 보기별 해설

  1. 귀무가설이 참인데도 자료가 우연히 치우쳐 기각해 버리는 잘못이 제1종 오류이고 그것이 일어날 확률이 유의수준이므로 이 보기는 옳다(정답).
  2. 귀무가설이 참일 때 기각하지 않는 것은 올바른 판정이고 그 확률은 1 에서 유의수준을 뺀 값이므로 오류확률을 말한 이 보기는 옳지 않다.
  3. 귀무가설이 거짓일 때 기각하는 것은 옳게 잡아낸 경우이고 그 확률은 검정력이라 부르므로 제1종 오류확률이라고 한 이 보기는 옳지 않다.
  4. 귀무가설이 거짓인데도 기각하지 않는 것은 제2종 오류이고 그 확률은 보통 베타로 적으므로 제1종 오류확률이라고 한 이 보기는 옳지 않다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 멀쩡한 공정을 불량이라고 판정해 생산을 멈춘 적이 있는 품질 담당자다. 실제로는 문제가 없는데 기각한 쪽이 제1종 오류라는 것을 짚고 유의수준을 낮춰 잡기로 정했다.
  2. 甲은 귀무가설을 기각하지 않은 경우까지 오류로 세어 답을 두 개 적은 수험생이다. 참일 때 기각하지 않는 것은 바른 판정이라는 것을 알고 네 경우를 표로 나눠 정리했다.
  3. 甲은 거짓인 가설을 제대로 잡아낸 경우에 이름이 따로 있는지 찾아본 학생이다. 그것이 검정력이고 오류가 아니라는 것을 알아 두고 오류 둘과 바른 판정 둘을 갈라 적었다.
  4. 甲은 불량인 공정을 정상이라고 넘겨 문제를 키운 사례를 조사한 담당자다. 거짓인데 기각하지 않은 쪽이 제2종 오류라는 것을 새기고 두 오류가 서로 맞바꿔 간다는 것도 함께 적어 두었다.

  제1종 오류는 귀무가설이 참인데도 기각해 버리는 잘못이므로 참일 때 기각할 확률이라고 한 1번이 옳다.

• 4

  단순선형회귀모형 Y_i = β_0 + β_1 x_i + ε_i , (i = 1, 2, ⋯ , 22) 에서 최소제곱법으로 회귀식을 추정한 후 잔차제곱합을 구하였더니 2,100이었다. 이때 오차항 분산( σ^2 )의 불편추정값은? (단, ε_i 는 N (0, σ^2) 를 따르고 서로 독립이다)

  1. 1. 100
  2. 2. 105
  3. 3. 110
  4. 4. 120

  정답 2번

  🔍 보기별 해설

  1. 100 은 잔차제곱합 2,100 을 21 로 나눈 값에 가까운 수인데 단순회귀의 잔차 자유도는 표본 수 22 에서 2 를 뺀 20 이므로 이 값은 해당하지 않는다.
  2. 잔차제곱합 2,100 을 잔차 자유도 20 으로 나누면 105 가 되고 이것이 오차항 분산의 불편추정값이므로 이 보기가 해당한다(정답).
  3. 110 은 2,100 을 19 를 조금 넘는 수로 나누었을 때 나오는 값인데 자유도는 절편과 기울기 둘을 추정해 2 만 줄어든 20 이므로 이 값은 해당하지 않는다.
  4. 120 은 2,100 을 17.5 로 나누었을 때 나오는 값이고 이는 자유도를 실제보다 훨씬 작게 잡은 셈이어서 표본 수 22 와 맞지 않으므로 해당하지 않는다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 잔차제곱합을 표본 수 22 로 그대로 나누어 95.45 라는 값을 얻은 학생이다. 추정한 계수가 둘이라 자유도가 2 만큼 줄어든다는 것을 헤아려 분모를 20 으로 고쳐 다시 나누었다.
  2. 甲은 표본 수에서 1 만 빼면 된다고 알고 있던 수험생이다. 평균 하나만 추정할 때가 그렇고 회귀에서는 절편과 기울기 둘을 추정한다는 것을 확인하고 분모를 20 으로 바로잡았다.
  3. 甲은 불편추정값이라는 말이 왜 붙는지 궁금했던 학생이다. 자유도로 나누어야 기댓값이 참값과 같아진다는 것을 교재에서 확인하고 분모를 표본 수가 아닌 자유도로 적어 두었다.
  4. 甲은 다중회귀에서 쓰던 분모를 그대로 옮겨 적은 응시자다. 독립변수가 하나뿐이면 빼는 수가 2 라는 것을 세어 보고 변수 개수에 1 을 더한 만큼 줄어든다는 규칙으로 정리했다.

  단순선형회귀에서 오차항 분산의 불편추정값은 잔차제곱합을 표본 수에서 2 를 뺀 자유도로 나눈 값이므로 2,100 을 20 으로 나눈 105 인 2번이 해당한다.

• 5

  코로나바이러스 감염 상황과 진단키트의 진단 확률이 다음과 같을 때, 한 사람의 진단키트 결과가 음성이라면 이 사람이 실제 음성일 확률은?

  ○ 전체 인구 중 코로나바이러스 양성은 20 %이다.

  ○ 진단키트에서 실제 음성인 사람을 음성으로 판단할 확률이 70 %이다.

  ○ 진단키트에서 실제 양성인 사람을 양성으로 판단할 확률이 80 %이다.

  1. 1. {13 / 15}
  2. 2. {9 / 10}
  3. 3. {14 / 15}
  4. 4. {29 / 30}

  정답 3번

  🔍 보기별 해설

  1. 13/15 는 분자에서 0.56 대신 조금 작은 값을 쓰거나 분모의 0.04 를 더 크게 잡았을 때 나오는 값인데 자료의 확률을 그대로 넣으면 0.56 을 0.60 으로 나눈 값이 되므로 해당하지 않는다.
  2. 9/10 은 분모를 음성 판정 전체가 아니라 실제 음성 비율 0.8 로 잡은 셈이 되는 값인데 구하는 것은 음성 판정을 받은 사람 중의 비율이므로 해당하지 않는다.
  3. 실제 음성 0.8 에 음성으로 판정할 확률 0.7 을 곱한 0.56 을 음성 판정 전체인 0.56 더하기 0.04 로 나누면 14/15 가 되므로 이 보기가 해당한다(정답).
  4. 29/30 은 실제 양성이면서 음성으로 판정될 0.2 곱하기 0.2 의 0.04 를 분모에서 빠뜨렸을 때에 가까운 값인데 음성 판정에는 이 경우도 들어가므로 해당하지 않는다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 음성 판정을 받고 안심해도 되는지 알아보려 한 수검자다. 구하는 것이 음성 판정을 받은 사람 가운데 실제 음성인 비율이라는 것을 짚고 분모에 판정이 음성인 두 경우를 모두 넣었다.
  2. 甲은 실제 양성인데도 음성으로 나오는 경우를 셈에서 빠뜨린 학생이다. 양성의 20% 가 음성으로 판정된다는 것을 자료에서 확인하고 0.2 곱하기 0.2 를 분모에 더해 다시 계산했다.
  3. 甲은 조건부확률의 앞뒤를 바꿔 실제 음성인 사람이 음성으로 나올 확률 0.7 을 답으로 적은 수험생이다. 묻는 방향이 반대라는 것을 알고 판정을 조건으로 놓아 식을 다시 세웠다.
  4. 甲은 전체 인구의 양성 비율 20% 를 쓰지 않고 검사 확률만으로 답을 내려던 응시자다. 사전 비율이 있어야 두 경우의 크기를 견줄 수 있다는 것을 읽고 0.8 과 0.2 를 각각 곱해 넣었다.

  음성으로 판정받은 사람 가운데 실제 음성인 비율은 실제 음성이면서 음성 판정인 0.8 곱하기 0.7 을 음성 판정 전체인 0.56 과 0.04 의 합으로 나눈 14/15 이므로 3번이 해당한다.

• 6

  두 연속형 확률변수 X 와 Y 가 독립일 때, 이에 대한 설명으로 옳지 않은 것은?

  1. 1. X 와 Y 의 공분산은 0이다.
  2. 2. X 와 Y 의 합에 대한 분산은 X 와 Y 의 분산의 합이다.
  3. 3. X 와 Y 의 곱에 대한 기댓값은 X 와 Y 의 기댓값의 곱이다.
  4. 4. X 가 주어졌을 때 Y 의 조건부확률밀도함수는 X 의 주변확률밀도함수와 같다.

  정답 4번

  🔍 보기별 해설

  1. 독립이면 두 변수가 함께 움직이는 정도가 없어 공분산이 0 이 되고 이는 독립에서 곧바로 따라 나오는 성질이므로 이 보기는 옳다.
  2. 독립이면 공분산이 0 이라 합의 분산을 펼쳤을 때 남는 교차항이 사라지고 각각의 분산을 더한 값만 남으므로 이 보기는 옳다.
  3. 독립이면 결합밀도가 두 주변밀도의 곱으로 갈라져 곱의 기댓값을 적분하면 각각의 기댓값을 곱한 값이 나오므로 이 보기는 옳다.
  4. 독립이면 X 를 알아도 Y 의 분포가 달라지지 않아 조건부밀도가 Y 의 주변밀도와 같아지는데 X 의 주변밀도와 같다고 했으므로 이 보기는 옳지 않다(정답).

  🧮 풀이

  1. 甲은 두 변수가 독립이면 공분산이 0 이 되는 까닭을 식으로 따라가 본 학생이다. 곱의 기댓값이 기댓값의 곱과 같아져 정의가 그대로 0 이 된다는 것이 분명해져 한 줄로 적어 두었다.
  2. 甲은 합의 분산을 구할 때 교차항을 늘 더해 오던 수험생이다. 독립이면 그 항이 사라진다는 것을 짚고 언제 더하고 언제 빼도 되는지를 조건과 함께 정리해 두었다.
  3. 甲은 결합밀도가 두 주변밀도의 곱으로 갈라지는 모양을 직접 적분해 본 학생이다. 곱의 기댓값이 기댓값의 곱이 되는 과정이 그 갈라짐에서 나온다는 것을 확인했다. 독립이 아니면 이 갈라짐이 성립하지 않는다는 단서도 함께 적었다.
  4. 甲은 조건부밀도가 어느 쪽 주변밀도와 같아지는지 헷갈려 답을 미룬 응시자다. 조건으로 둔 쪽이 아니라 구하려는 쪽의 분포가 그대로 남는다는 것을 따져 두 기호를 나란히 써서 견주었다.

  두 확률변수가 독립이면 X 가 주어졌을 때 Y 의 조건부밀도는 Y 자신의 주변밀도와 같아지는데 X 의 주변밀도와 같다고 한 4번이 옳지 않다.

• 7

  다음은 단순선형회귀모형을 적합하여 얻은 분산분석표이다. 요인제곱합자유도평균제곱F －값회귀540(가)(다)잔차200(나)계74011 이에 대한 설명으로 옳지 않은 것은?

  1. 1. (가)의 값은 540이다.
  2. 2. (나)의 값은 20이다.
  3. 3. (다)의 값은 27이다.
  4. 4. 모형의 결정계수는 200 740 이다.

  정답 4번

  🔍 보기별 해설

  1. 단순선형회귀의 회귀 자유도는 1 이므로 회귀 평균제곱은 회귀제곱합 540 을 1 로 나눈 540 이 되어 이 보기는 옳다.
  2. 계의 자유도가 11 이고 회귀 자유도가 1 이므로 잔차 자유도는 10 이 되고 잔차 평균제곱은 200 을 10 으로 나눈 20 이 되어 이 보기는 옳다.
  3. F 값은 집단 사이의 흩어짐을 집단 안의 흩어짐으로 나눈 값이라 회귀 평균제곱 540 을 잔차 평균제곱 20 으로 나누면 27 이 되므로 이 보기는 옳다.
  4. 결정계수는 회귀제곱합을 총제곱합으로 나눈 값이라 540 을 740 으로 나누어야 하는데 잔차제곱합 200 을 분자에 둔 값을 적었으므로 이 보기는 옳지 않다(정답).

  🧮 풀이

  1. 甲은 회귀 자유도를 표에서 찾지 못해 막힌 학생이다. 독립변수가 하나뿐이면 회귀 자유도가 1 이라는 것을 짚고 제곱합 540 을 그대로 평균제곱으로 옮겨 적었다.
  2. 甲은 계의 자유도 11 에서 회귀 자유도를 빼는 것을 잊은 수험생이다. 세 자유도가 더해져 계가 된다는 것을 확인하고 잔차 자유도를 10 으로 채운 뒤 평균제곱 20 을 구했다.
  3. 甲은 F 값의 분자와 분모를 거꾸로 놓아 아주 작은 값을 얻은 응시자다. 회귀 평균제곱을 잔차 평균제곱으로 나눈다는 순서를 짚고 540 을 20 으로 나누어 27 을 얻었다.
  4. 甲은 결정계수의 분자를 잔차제곱합으로 적어 값이 1 보다 작기만 하면 된다고 여긴 학생이다. 설명된 몫이 분자라는 것을 새기고 540 을 740 으로 나눈 값으로 고쳤다.

  결정계수는 회귀제곱합을 총제곱합으로 나눈 값이라 540 을 740 으로 나눈 값인데 200 을 740 으로 나눈다고 한 4번이 옳지 않다.

• 8

  다음은 시장조사에서 세탁기 색에 대한 선호도를 알아보기 위해 최근 판매된 세탁기의 색을 조사한 결과이다. 색 흰색 검은색 상아색 회색 합계 빈도 40 24 10 6 80 선호하는 색이 4 : 4 : 1 : 1의 비율로 분포한다는 가설을 검정하려 할 때, 이에 대한 설명으로 옳은 것만을 모두 고르면?

  ㄱ. 검정통계량은 5이다.

  ㄴ. 검정통계량의 자유도는 4이다.

  ㄷ. 검은색의 기대도수는 32이다.

  1. 1. ㄱ, ㄴ
  2. 2. ㄱ, ㄷ
  3. 3. ㄴ, ㄷ
  4. 4. ㄱ, ㄴ, ㄷ

  정답 2번

  🔍 보기별 해설

  1. ㄱ 은 옳지만 ㄴ 은 자유도를 범주 수 그대로 4 라고 했는데 적합도 검정의 자유도는 범주 수에서 1 을 뺀 3 이므로 이 둘을 고른 보기는 해당하지 않는다.
  2. 관측도수와 기대도수의 차이를 제곱해 기대도수로 나눈 값을 모두 더하면 2 와 2 와 0.5 와 0.5 의 합인 5 가 되고 검은색 기대도수는 80 의 10 분의 4 인 32 이므로 ㄱ 과 ㄷ 을 고른 이 보기가 해당한다(정답).
  3. ㄷ 은 옳지만 ㄴ 은 자유도를 4 로 보아 하나 많게 적은 진술이고 비율만 주어진 적합도 검정에서는 3 이 되므로 이 둘을 고른 보기는 해당하지 않는다.
  4. 셋을 모두 고르려면 자유도까지 4 여야 하는데 범주가 넷이면 자유도는 3 이므로 ㄱ, ㄴ, ㄷ 을 다 고른 이 보기는 해당하지 않는다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 네 색의 기대도수를 4 대 4 대 1 대 1 의 비율로 나누어 32, 32, 8, 8 로 적은 학생이다. 비율의 합이 10 이라 80 을 10 으로 나눈 8 에 각 비율을 곱하면 된다는 것이 눈에 들어왔다.
  2. 甲은 검정통계량을 구하며 나누는 값을 관측도수로 잡은 수험생이다. 기대도수로 나눈다는 것을 떠올려 네 항을 2, 2, 0.5, 0.5 로 다시 구해 합이 5 라는 것을 얻었다.
  3. 甲은 자유도를 범주 수 그대로 4 라고 적은 응시자다. 도수의 합이 80 으로 묶여 있어 마지막 하나는 저절로 정해진다는 것을 짚고 4 에서 1 을 뺀 3 으로 고쳤다.
  4. 甲은 상아색과 회색의 기대도수를 각각 10 과 6 인 관측값 그대로 둔 학생이다. 기대도수는 가설의 비율로 다시 나눈 값이라는 것을 확인하고 둘 다 8 로 바로잡았다.

  기대도수는 80 에 비율을 곱해 32, 32, 8, 8 이고 검정통계량은 5 이며 자유도는 범주 수 4 에서 1 을 뺀 3 이다. 따라서 ㄱ 과 ㄷ 만 옳으므로 정답은 2번이다.

• 9

  분포에 대한 설명으로 옳지 않은 것은?

  1. 1. 확률변수 F 가 자유도 (df_1 , df_2) 인 F 분포를 따를 때, 1/F 은 자유도 (df_2 , df_1) 인 F 분포를 따른다.
  2. 2. 평균이 μ 이고 분산이 σ^2 인 정규모집단에서 임의로 추출한 n 개의 확률변수에 대한 표본평균 X̄ 는 N (μ , σ^2/n) 를 따른다.
  3. 3. 확률변수 X_1 , X_2 , ⋯ , X_n 이 서로 독립이며 표준정규분포를 따르면 X_1^2 + X_2^2 + ⋯ + X_n^2 은 자유도가 n 인 카이제곱분포를 따른다.
  4. 4. 평균이 μ 이고 분산이 σ^2 인 모집단에서 임의로 추출한 5개의 확률변수에 대한 표본평균이 X̄ 일 때, Z = (X̄ - μ)/σ/√(n) 는 근사적으로 표준정규분포를 따른다.

  정답 4번

  🔍 보기별 해설

  1. F 분포를 따르는 확률변수의 역수는 두 자유도의 자리를 맞바꾼 F 분포를 따르고 이는 F 분포의 정의에서 곧바로 나오므로 이 보기는 옳다.
  2. 정규모집단에서 뽑은 표본의 평균은 정확히 정규분포를 따르고 분산은 모분산을 표본 수로 나눈 값이 되므로 이 보기는 옳다.
  3. 서로 독립인 표준정규변수의 제곱을 더하면 더한 개수가 그대로 자유도가 되는 카이제곱분포를 따르므로 이 보기는 옳다.
  4. 모집단이 정규라는 말이 없는데 표본이 다섯 개뿐이면 중심극한정리를 쓸 만큼 크지 않아 근사가 보장되지 않으므로 이 보기는 옳지 않다(정답).

  🧮 풀이

  1. 甲은 F 분포표를 뒤집어 읽어야 할 때가 있어 까닭을 찾아본 학생이다. 역수를 취하면 두 자유도가 자리를 바꾼다는 것을 대조해 표의 아래쪽 꼬리를 구하는 방법으로 적어 두었다.
  2. 甲은 표본평균의 분산을 모분산 그대로 쓴 수험생이다. 표본 수로 나누어야 한다는 것을 헤아려 표본이 커질수록 평균이 모평균 둘레로 좁아지는 까닭까지 함께 정리했다.
  3. 甲은 카이제곱분포의 자유도가 어디서 오는지 궁금했던 학생이다. 더한 제곱항의 개수가 그대로 자유도가 된다는 것을 확인하고 제곱합의 개수를 세는 연습을 해 두었다.
  4. 甲은 표본이 몇 개든 표본평균은 정규분포를 따른다고 외워 두었던 응시자다. 모집단이 정규일 때만 그렇고 아니면 표본이 커야 근사가 된다는 조건을 갈라 적어 두었다.

  중심극한정리는 표본 수가 충분히 커야 쓸 수 있는데 표본이 다섯 개뿐인 경우를 근사적으로 표준정규분포라고 한 4번이 옳지 않다.

• 10

  세 가지 필터의 성능을 비교하기 위해 일원배치 분산분석법(one-way analysis of variance)을 실시하여 얻은 분산분석표의 일부가 다음과 같을 때 (가)의 값은?

  요인제곱합자유도평균제곱F －값처리50(가)오차206계70

  1. 1. 2.5
  2. 2. 5.0
  3. 3. 7.5
  4. 4. 15.0

  정답 3번

  🔍 보기별 해설

  1. 2.5 는 처리 평균제곱과 오차 평균제곱의 자리를 바꾸어 나누었을 때 나오는 값에 가까운데 F 값은 처리 쪽을 분자에 두므로 이 값은 해당하지 않는다.
  2. 5.0 은 처리제곱합 50 을 오차제곱합을 자유도로 나눈 값이 아니라 다른 수로 나누었을 때 나오는 값인데 분자는 자유도로 나눈 평균제곱이어야 하므로 해당하지 않는다.
  3. 처리 자유도가 2 라 처리 평균제곱은 25 가 되고 오차 평균제곱은 20 을 6 으로 나눈 값이므로 둘을 나눈 F 값은 7.5 가 되어 이 보기가 해당한다(정답).
  4. 15.0 은 처리제곱합 50 을 자유도로 나누지 않고 그대로 분자에 둔 뒤 오차 평균제곱으로 나누었을 때 나오는 값의 절반에 해당하므로 해당하지 않는다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 처리 자유도를 표에서 찾지 못해 멈춘 학생이다. 비교하는 집단이 셋이면 자유도가 하나 적은 2 라는 것을 짚고 처리 평균제곱을 25 로 채워 넣었다. 제곱합 50 을 2 로 나눈 값이 그 칸에 들어갔다.
  2. 甲은 제곱합끼리 바로 나누어 2.5 라는 값을 얻은 수험생이다. F 값은 자유도로 나눈 평균제곱끼리 견주는 값이라는 것을 알고 두 칸을 먼저 채운 뒤 다시 나누었다.
  3. 甲은 계의 자유도를 알면 나머지가 풀린다는 것을 써먹은 응시자다. 처리와 오차의 자유도를 더하면 계가 된다는 것을 읽고 6 과 2 를 더해 8 이 맞는지 되짚어 보았다.
  4. 甲은 F 값의 분자와 분모를 헷갈려 값이 1 보다 작게 나온 학생이다. 집단 사이의 흩어짐을 집단 안의 흩어짐으로 나눈다는 뜻을 새기고 25 를 3.33 으로 나누어 7.5 를 얻었다.

  처리 자유도는 세 필터이므로 2 이고 처리 평균제곱은 50 을 2 로 나눈 25, 오차 평균제곱은 20 을 6 으로 나눈 값이라 F 값은 7.5 이므로 3번이 해당한다.

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• 11

  다음은 어느 확률변수의 확률밀도함수이다. 이에 대한 설명으로 옳은 것만을 모두 고르면? (단, 함수는 0을 기준으로 좌우 대칭이다)

  ㄱ. 평균은 0이다.

  ㄴ. 중앙값은 0이다.

  ㄷ. 최빈값의 절댓값은 중앙값보다 크다.

  1. 1. ㄱ
  2. 2. ㄱ, ㄴ
  3. 3. ㄴ, ㄷ
  4. 4. ㄱ, ㄴ, ㄷ

  정답 4번

  🔍 보기별 해설

  1. ㄱ 만 고르면 중앙값과 최빈값에 대한 판정이 빠지는데 좌우 대칭이면 중앙값도 0 이고 봉우리가 0 이 아닌 자리에 서 있어 ㄴ 과 ㄷ 도 옳으므로 이 보기는 해당하지 않는다.
  2. ㄱ 과 ㄴ 만 고르면 최빈값에 대한 ㄷ 이 빠지는데 그림의 봉우리는 0 에서 벗어난 두 곳에 있어 그 절댓값이 0 보다 크므로 이 보기는 해당하지 않는다.
  3. ㄴ 과 ㄷ 만 고르면 평균에 대한 ㄱ 이 빠지는데 좌우 대칭인 밀도함수의 평균은 대칭축인 0 이 되므로 이 보기는 해당하지 않는다.
  4. 좌우 대칭이라 평균과 중앙값이 모두 0 이고 봉우리가 0 이 아닌 두 자리에 있어 최빈값의 절댓값이 0 보다 크므로 세 진술을 다 고른 이 보기가 해당한다(정답).

  🧮 풀이

  1. 甲은 대칭인 그림이면 평균과 중앙값이 대칭축에 온다는 성질을 그림 위에 선을 그어 살핀 학생이다. 0 을 기준으로 양쪽 넓이가 같다는 데서 둘 다 0 이 된다는 결론을 얻었다.
  2. 甲은 봉우리가 하나뿐인 종 모양만 떠올려 최빈값도 0 이라고 적은 수험생이다. 그림을 다시 보니 0 자리가 오히려 골짜기였고 봉우리는 좌우로 떨어져 있었다. 골짜기와 봉우리를 그림에 표시해 두고 세 진술을 다시 판정했다.
  3. 甲은 최빈값이 둘이면 어느 쪽을 쓰느냐고 물은 응시자다. 둘 다 최빈값이고 절댓값은 어느 쪽을 잡아도 같다는 답을 듣고 0 보다 크다는 진술이 성립한다고 적었다.
  4. 甲은 평균과 중앙값이 같으면 최빈값도 따라 같아진다고 외워 두었던 학생이다. 그것은 봉우리가 하나일 때의 이야기라는 단서를 찾아 쌍봉에서는 갈라진다고 고쳐 적었다.

  그림이 0 을 골짜기로 두고 좌우에 봉우리가 선 쌍봉이라 평균과 중앙값은 모두 0 이고 최빈값은 0 이 아닌 두 점이므로 절댓값이 중앙값보다 크다. 따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 이 모두 옳으므로 정답은 4번이다.

• 12

  어느 지역에서 20대 남자의 몸무게는 평균이 μ 이고 표준편차가 8 인 정규분포를 따른다고 한다. 이 지역에서 임의추출한 20대 남자 64명의 평균 몸무게가 66일 때, 모평균 μ 에 대한 95 % 신뢰구간은? (단, 단위는 kg이며, 표준정규분포를 따르는 확률변수 Z 에 대하여 P(Z ≥ 1.96) = 0.025 , P(Z ≥ 1.645) = 0.05 이다)

  1. 1. (64.040, 67.960)
  2. 2. (64.355, 67.645)
  3. 3. (65.755, 66.245)
  4. 4. (65.794, 66.206)

  정답 1번

  🔍 보기별 해설

  1. 표준오차가 8 을 8 로 나눈 1 이고 95% 신뢰구간의 계수는 1.96 이므로 66 에서 1.96 을 빼고 더한 64.040 과 67.960 이 되어 이 보기가 해당한다(정답).
  2. 64.355 와 67.645 는 계수를 1.645 로 잡았을 때 나오는 값인데 그것은 90% 신뢰구간에 쓰는 값이므로 95% 를 묻는 이 문제에는 해당하지 않는다.
  3. 65.755 와 66.245 는 표준오차를 8 대신 64 로 나눈 0.125 로 잡았을 때 나오는 폭인데 나누는 값은 표본 수가 아니라 그 제곱근이므로 해당하지 않는다.
  4. 65.794 와 66.206 은 표준오차를 아주 작게 잡고 계수도 1.645 를 쓴 경우에 가까운 값인데 표준오차는 1 이고 계수는 1.96 이므로 해당하지 않는다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 표준편차 8 을 표본 수 64 로 그대로 나누어 폭이 지나치게 좁게 나온 학생이다. 나누는 값이 표본 수의 제곱근이라는 단서를 찾아 8 로 나누어 표준오차 1 을 얻었다.
  2. 甲은 신뢰수준 95% 에 쓰는 계수를 1.645 로 적어 둔 수험생이다. 문제에 주어진 두 확률 가운데 0.025 짝이 양쪽 꼬리를 합쳐 5% 가 된다는 데서 1.96 을 골라 썼다.
  3. 甲은 신뢰구간을 한쪽으로만 더해 상한만 구한 응시자다. 양쪽으로 같은 폭을 벌려야 한다는 규칙에 따라 66 에서 1.96 을 빼고 더해 두 끝을 모두 적었다. 신뢰구간이 표본평균을 가운데 두고 대칭이라는 점도 함께 적어 두었다.
  4. 甲은 모표준편차를 모르는 경우에 쓰는 t 값을 찾으려던 학생이다. 문제에서 표준편차 8 이 주어졌다는 데 눈이 가서 정규분포 계수를 그대로 쓸 수 있다고 판단했다.

  모표준편차 8 을 표본 수 64 의 제곱근 8 로 나누면 표준오차가 1 이고 여기에 1.96 을 곱해 표본평균 66 의 양쪽에 더하고 빼면 64.040 과 67.960 이 되므로 1번이 해당한다.

• 13

  다중선형회귀모형 Y_i = β_0 + β_1 x_i1 + β_2 x_i2 + ε_i , (i = 1, 2, ⋯ , n) 에서 최소제곱법으로 구한 분산분석표의 F －값에 대한 p －값(유의확률)이 0.05보다 작다. 유의수준 5 %에서 내릴 수 있는 결론으로 옳은 것은? (단, ε_i 는 N(0, σ^2) 를 따르고 서로 독립이다)

  1. 1. β_1 ! = 0 이고 β_2 ! = 0
  2. 2. β_1 ! = 0 또는 β_2 ! = 0
  3. 3. β_0 ! = 0 이고 β_1 ! = 0 이고 β_2 ! = 0
  4. 4. β_0 ! = 0 또는 β_1 ! = 0 또는 β_2 ! = 0

  정답 2번

  🔍 보기별 해설

  1. F 검정을 기각해도 어느 계수가 0 이 아닌지까지는 알 수 없어 둘 다 0 이 아니라고 단정할 수 없으므로 이 보기는 옳지 않다.
  2. F 검정의 귀무가설은 두 기울기가 모두 0 이라는 것이고 이를 기각했으므로 적어도 하나는 0 이 아니라는 결론이 되어 이 보기는 옳다(정답).
  3. 절편은 F 검정의 귀무가설에 들어가지 않으므로 절편까지 0 이 아니라고 말할 수 없고 셋 다 0 이 아니라는 단정도 할 수 없어 이 보기는 옳지 않다.
  4. 절편을 결론에 끌어들인 점이 앞의 보기와 같고 F 검정이 다루는 것은 기울기들뿐이므로 이 보기는 옳지 않다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 모형이 유의하다는 말을 모든 변수가 쓸모 있다는 뜻으로 읽은 학생이다. 개별 계수는 따로 t 검정으로 봐야 한다는 대목을 찾아 결론의 범위를 좁혀 적었다. 모형 전체와 계수 하나는 묻는 것이 다르다고 노트에 갈라 썼다.
  2. 甲은 F 검정의 귀무가설을 노트에 그대로 옮겨 적어 둔 수험생이다. 두 기울기가 모두 0 이라는 문장을 부정하면 적어도 하나가 0 이 아니라는 뜻이 된다는 데까지 따라갔다.
  3. 甲은 절편이 0 인지도 함께 판정된다고 여긴 응시자다. 분산분석표의 회귀 제곱합이 절편을 뺀 나머지 변동을 재는 값이라는 대목에서 절편이 빠진다는 것을 알았다. 절편에 대한 판정은 따로 t 검정을 봐야 한다고 덧붙였다.
  4. 甲은 유의확률이 0.05 보다 작으면 무엇을 기각하는지 헷갈린 학생이다. 작으면 귀무가설을 버린다는 규칙을 다시 새기고 어떤 문장을 버리는지부터 적어 두는 버릇을 들였다.

  분산분석표의 F 검정은 기울기 계수들이 모두 0 이라는 가설을 한꺼번에 검정하므로 기각하면 적어도 하나가 0 이 아니라는 뜻이라 2번이 옳다.

• 14

  확률변수 X 에 대하여 Var(3X + 9) = 36 , E(X(X + 1)) = 10 을 만족할 때, E(X) 의 값은? (단, E(X) > 0 이다)

  1. 1. 1
  2. 2. 2
  3. 3. 3
  4. 4. 4

  정답 2번

  🔍 보기별 해설

  1. 1 을 넣으면 분산이 4 라는 조건에서 제곱의 기댓값이 5 가 되어 두 항의 합이 6 에 그치므로 주어진 10 과 맞지 않아 해당하지 않는다.
  2. 분산 조건에서 Var(X) 가 4 이고 기댓값 조건을 풀면 이차식이 되어 양수 해가 2 로 나오므로 이 값이 해당한다(정답).
  3. 3 을 넣으면 제곱의 기댓값이 13 이 되어 두 항의 합이 16 이 되므로 주어진 10 을 넘어서 해당하지 않는다.
  4. 4 를 넣으면 제곱의 기댓값이 20 이 되어 합이 24 까지 커지므로 주어진 10 과 크게 어긋나 해당하지 않는다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 상수를 더한 것도 분산을 키운다고 여겨 9 를 분산에 더한 학생이다. 더하기는 분산을 바꾸지 않고 곱하기만 제곱으로 들어간다는 대목을 읽고 36 을 9 로 나누었다.
  2. 甲은 괄호가 든 기댓값을 어떻게 풀어야 할지 막힌 수험생이다. 괄호를 펼치면 제곱의 기댓값과 기댓값의 합이 된다는 데까지 나아가 두 조건을 하나의 이차식으로 묶었다.
  3. 甲은 분산 공식에서 제곱의 기댓값을 끌어내는 단계를 빠뜨린 응시자다. 분산이 제곱의 기댓값에서 기댓값의 제곱을 뺀 값이라는 정의로 돌아가 식을 다시 세웠다. 제곱의 기댓값을 분산과 기댓값으로 바꿔 쓰는 꼴을 외워 두었다.
  4. 甲은 이차식을 풀어 해 둘을 얻고 어느 쪽을 쓸지 망설인 학생이다. 문제에 기댓값이 양수라는 단서가 붙어 있어 음수 해를 버리고 2 를 답으로 적었다. 조건이 붙은 문제는 해를 고르는 단계까지가 풀이라고 적어 두었다.

  Var(3X+9) 은 9 곱하기 Var(X) 이므로 분산은 4 이고 E(X 제곱)+E(X)=10 에 E(X 제곱)=4+E(X) 제곱을 넣으면 이차식의 양수 해가 2 가 되므로 2번이 해당한다.

• 15

  독립인 두 모집단 1과 2에 대한 확률분포는 각각 다음과 같다. 구분 x 0 1 2 모집단 1 P (X_1 = x) 2/3 1/3 0 모집단 2 P (X_2 = x) 0 1/3 2/3 모집단 i 에서 임의로 추출한 100개의 확률변수의 평균을 X̄_i 라 할 때, X̄_1 + X̄_2 의 근사분포는?

  1. 1. N (2, {2 / 900})
  2. 2. N (2, {4 / 900})
  3. 3. N (4, {2 / 900})
  4. 4. N (4, {4 / 900})

  정답 2번

  🔍 보기별 해설

  1. 평균 2 는 맞지만 분산을 900 분의 2 로 둔 것은 두 표본평균 가운데 하나만 센 값인데 독립인 둘을 더하면 분산도 더해지므로 해당하지 않는다.
  2. 두 모집단의 평균을 더한 2 가 합의 평균이고 각 표본평균의 분산 900 분의 2 를 더한 900 분의 4 가 합의 분산이므로 이 보기가 해당한다(정답).
  3. 평균을 4 로 둔 것은 두 모집단의 최댓값 2 를 각각 평균으로 잘못 본 셈인데 확률을 가중해 구한 평균은 3 분의 1 과 3 분의 5 이므로 해당하지 않는다.
  4. 평균 4 와 분산 900 분의 4 를 함께 적었는데 평균이 이미 어긋나 있고 두 평균의 합은 2 이므로 해당하지 않는다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 값에 확률을 곱해 더하는 과정을 건너뛰고 눈에 보이는 수를 평균으로 삼은 학생이다. 0 과 1 과 2 에 각각 확률을 곱해야 한다는 정의로 돌아가 두 평균을 새로 구했다.
  2. 甲은 모집단의 분산을 표본평균의 분산으로 그대로 쓴 수험생이다. 표본 수 100 으로 나누어야 한다는 대목을 찾아 9 분의 2 를 100 으로 나눈 값으로 바꿔 적었다.
  3. 甲은 독립인 두 변수의 합에서 분산을 어떻게 다루는지 망설인 응시자다. 공분산이 0 이라 그냥 더하면 된다는 대목에 따라 두 분산을 더해 900 분의 4 를 얻었다.
  4. 甲은 두 모집단의 확률표가 좌우로 뒤집힌 모양이라는 데 눈이 간 학생이다. 그래서 분산은 같고 평균만 다르다는 짐작이 섰고 실제로 계산해 보니 둘 다 9 분의 2 였다.

  모집단 1 의 평균은 3 분의 1 이고 모집단 2 의 평균은 3 분의 5 라 합의 평균은 2 이며 두 분산이 모두 9 분의 2 라 표본평균의 분산을 더하면 900 분의 4 가 되므로 2번이 해당한다.

• 16

  모평균과 모분산이 알려지지 않고 서로 독립인 두 개의 정규모집단에서 각각 25개씩 표본을 임의추출한 후, 두 모집단의 모분산을 비교할 때 사용하는 분포는?

  1. 1. 표준정규분포
  2. 2. 자유도가 24 인 t 분포
  3. 3. 자유도가 24 인 카이제곱분포
  4. 4. 자유도가 (24, 24) 인 F 분포

  정답 4번

  🔍 보기별 해설

  1. 표준정규분포는 모분산을 알고 모평균을 다룰 때 쓰는 분포인데 여기서는 모분산 자체를 견주고 모분산도 모르므로 해당하지 않는다.
  2. t 분포는 모분산을 모를 때 모평균을 다루는 분포인데 이 문제는 평균이 아니라 분산을 견주므로 해당하지 않는다.
  3. 카이제곱분포는 한 모집단의 분산을 다룰 때 쓰는 분포인데 여기서는 두 모집단의 분산을 서로 견주므로 해당하지 않는다.
  4. 두 표본분산의 비는 분자와 분모의 자유도를 각각 24 로 갖는 F 분포를 따르므로 이 보기가 해당한다(정답).

  🧮 풀이

  1. 甲은 분산을 다루니 카이제곱을 쓰면 된다고 답한 학생이다. 그것은 모집단이 하나일 때의 이야기이고 둘을 견줄 때는 비를 만든다는 대목을 찾아 분포를 바꿔 적었다.
  2. 甲은 자유도를 표본 수 25 그대로 적은 수험생이다. 표본분산을 구할 때 평균을 먼저 추정해 하나가 줄어든다는 대목에서 24 로 고쳤다. 표본 수와 자유도를 나란히 적어 두 수가 하나씩 어긋난다는 것을 눈에 익혔다.
  3. 甲은 두 집단을 비교한다는 말에 t 분포를 먼저 떠올린 응시자다. 비교 대상이 평균인지 분산인지부터 갈라야 한다는 순서를 세우고 분산 쪽 갈래로 내려갔다. 평균을 견줄 때와 분산을 견줄 때 쓰는 분포를 표로 갈라 정리했다.
  4. 甲은 F 분포의 자유도를 하나만 적어 두던 학생이다. 분자와 분모에 각각 자유도가 붙는다는 데까지 나아가 두 수를 나란히 쓰는 꼴로 바꿨다. 분자 쪽 자유도를 앞에 적는 차례까지 맞춰 두 수를 나란히 썼다.

  두 정규모집단의 모분산을 견줄 때는 두 표본분산의 비가 F 분포를 따르고 각 자유도는 표본 수 25 에서 1 을 뺀 24 이므로 4번이 해당한다.

• 17

  성별과 와인 생산지의 선호도가 관련이 있는지를 알아보기 위해 100명을 임의추출한 후 성별과 와인 생산지 선호도를 조사하여 작성한 분할표가 다음과 같다. 프랑스칠레미국행의 합남x_11x_12x_13R(1 ·)여x_21x_22x_23R(2·)열의 합C(·1)C(· 2)C(· 3) 성별과 와인 생산지 선호도가 관련이 있는지를 검정하는 카이제곱검정통계량의 값은?

  1. 1. Σ(i = 1~2) Σ(j = 1~3) (x_ij - ({R(i ·) × C(· j) / 100})) ÷ ({R(i ·) × C(· j) / 100})
  2. 2. Σ(i = 1~2) Σ(j = 1~3) (x_ij - ({R(i ·) × C(· j) / 100})) ÷ ({R(i ·) × C(· j) / 100})^2
  3. 3. Σ(i = 1~2) Σ(j = 1~3) (x_ij - ({R(i ·) × C(· j) / 100}))^2 ÷ ({R(i ·) × C(· j) / 100})
  4. 4. Σ(i = 1~2) Σ(j = 1~3) (x_ij -({R(i ·) × C(· j) / 100}))^2 ÷ ({R(i ·) × C(· j) / 100})^2

  정답 3번

  🔍 보기별 해설

  1. 이 식은 관측도수와 기대도수의 차이를 제곱하지 않아 남는 쪽과 모자라는 쪽이 서로 지워져 합이 0 에 가까워지므로 해당하지 않는다.
  2. 이 식은 차이를 제곱하지 않은 채 분모만 제곱해 부호가 지워지고 값의 크기도 뜻을 잃으므로 해당하지 않는다.
  3. 관측도수에서 행합과 열합의 곱을 총수로 나눈 기대도수를 빼고 제곱한 뒤 그 기대도수로 나누어 모두 더하는 꼴이므로 이 보기가 해당한다(정답).
  4. 이 식은 분자를 제곱한 것까지는 맞지만 분모의 기대도수까지 제곱해 값이 지나치게 작아지므로 해당하지 않는다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 차이를 그대로 더했다가 합이 0 이 나와 당황한 학생이다. 남는 쪽과 모자라는 쪽이 서로 지워진다는 데 생각이 미쳐 제곱해서 더하는 까닭을 알게 되었다. 제곱하면 어느 쪽으로 벗어났든 크기만 남는다는 점을 적어 두었다.
  2. 甲은 분모에 관측도수를 넣어 값을 구한 수험생이다. 기대도수로 나누어야 도수가 큰 칸과 작은 칸을 공평하게 견줄 수 있다는 설명을 읽고 분모를 바꿨다. 도수가 큰 칸이 값을 독차지하지 않게 하는 장치라고 정리했다.
  3. 甲은 기대도수를 어떻게 만드는지 몰라 막힌 응시자다. 그 칸이 속한 행의 합과 열의 합을 곱해 전체 100 으로 나눈다는 규칙을 찾아 여섯 칸을 모두 채웠다. 행합과 열합을 먼저 구해 두면 여섯 칸이 한꺼번에 채워졌다.
  4. 甲은 분모까지 제곱한 식을 고르고 값이 너무 작아 이상하다고 느낀 학생이다. 분자만 제곱한다는 정의를 다시 대조해 보고 식의 모양을 바로잡았다. 분자와 분모 가운데 어느 쪽을 제곱하는지 식에 표시해 두었다.

  독립성 검정의 카이제곱통계량은 관측도수에서 기대도수를 뺀 값을 제곱한 뒤 기대도수로 나누어 모두 더한 것이므로 분자만 제곱한 3번이 해당한다.

• 18

  다음은 서로 독립인 두 지역 A 와 B 에서 실시하는 복지 프로그램 수혜자의 평균연령을 비교하기 위하여 두 지역의 복지 프로그램 수혜자 중에서 A 지역에서 100명, B 지역에서 200명을 임의추출하여 연령을 조사한 결과이다. A 지역B 지역표본평균3841표본표준편차810 A 지역에서 복지 혜택을 받는 사람의 평균 연령을 μ_A 라고 하고, B 지역에서 복지 혜택을 받는 사람의 평균 연령을 μ_B 라고 할 때, 가설 H_0 : μ_A = μ_B 대 H_1 : μ_A ≠ μ_B 를 검정하기 위한 p －값(유의확률)은? (단, Z 는 표준정규분포를 따르는 확률변수이다)

  1. 1. P (|Z | ≥ | {41-38 / √({10^2 / 200} + {8^2 / 100})} |)
  2. 2. P (Z ≥ | {41-38 / √({10^2 / 200} + {8^2 / 100})} |)
  3. 3. P (|Z | ≤ {41-38 / √({10^2 / 200} + {8^2 / 100})})
  4. 4. P (Z ≤ {41-38 / √({10^2 / 200} + {8^2 / 100})})

  정답 1번

  🔍 보기별 해설

  1. 대립가설이 양쪽을 모두 보므로 유의확률은 절댓값이 검정통계량의 절댓값을 넘을 확률로 적어야 하고 이 식이 그 꼴이므로 해당한다(정답).
  2. 이 식은 절댓값을 벗겨 한쪽 꼬리만 재고 있어 반대쪽으로 벗어난 경우를 빼먹고 양측검정의 유의확률보다 절반으로 작아지므로 해당하지 않는다.
  3. 이 식은 부등호 방향이 반대라 검정통계량보다 작을 확률을 재고 있어 유의확률이 아니라 그 나머지에 가까우므로 해당하지 않는다.
  4. 이 식은 한쪽 꼬리이면서 부등호도 반대라 통계량보다 작은 쪽을 재고 있으므로 유의확률로 쓸 수 없어 해당하지 않는다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 대립가설의 부등호를 보지 않고 유의확률을 늘 한쪽으로만 구하던 학생이다. 같지 않다는 표시가 양쪽을 뜻한다는 데 눈이 가서 절댓값을 씌운 꼴로 고쳤다. 대립가설의 부등호부터 보는 차례를 풀이 첫 줄에 적어 두었다.
  2. 甲은 양측검정에서 한쪽 값을 구한 뒤 2 를 곱하는 방법을 쓰던 수험생이다. 절댓값을 쓰는 표기가 같은 뜻이라는 설명을 읽고 두 꼴을 나란히 적어 두었다. 두 꼴이 같은 값을 낸다는 것을 수치를 넣어 한 번 확인했다.
  3. 甲은 부등호 방향을 거꾸로 놓아 1 에 가까운 값을 얻은 응시자다. 유의확률은 관측된 값보다 더 극단으로 갈 확률이라는 정의로 돌아가 방향을 바로잡았다. 유의확률이 작을수록 귀무가설이 불리해진다는 방향도 함께 적었다.
  4. 甲은 두 표본의 분산을 하나로 합쳐 쓸지 따로 쓸지 망설인 학생이다. 표본이 100 과 200 으로 충분히 커서 각각의 분산을 표본 수로 나눠 더한다는 꼴을 그대로 썼다.

  대립가설이 두 평균이 다르다는 양측이라 유의확률은 표준정규변수의 절댓값이 검정통계량의 절댓값보다 클 확률이므로 1번이 해당한다.

• 19

  다음은 두 인자 A 와 B 에 대하여 이원배치법을 적용한 실험 결과의 분산분석표 일부이다. 실험에서 인자의 수준조합에 대한 반복실험수는 동일하다. 이에 대한 설명으로 옳지 않은 것은?

  요인제곱합자유도평균제곱F －값p －값인자 A70010.011인자 B90030.040교호작용 A × B1,200(가)(나)0.034오차8008

  1. 1. (가)는 3이고 (나)는 4이다.
  2. 2. 분석에 사용한 자료의 수는 모두 15개이다.
  3. 3. 인자 A 와 인자 B 의 수준의 수는 각각 2와 4이다.
  4. 4. 인자 A 에 대한 주효과는 유의수준 5 %에서 유의하다.

  정답 2번

  🔍 보기별 해설

  1. 교호작용의 자유도는 두 인자의 자유도를 곱한 3 이고 교호작용 평균제곱 400 을 오차 평균제곱 100 으로 나누면 4 가 되므로 이 보기는 옳다.
  2. 수준조합이 여덟이고 오차 자유도 8 에서 반복수가 2 로 나오므로 자료는 모두 16 개인데 15 개라고 했으므로 이 보기는 옳지 않다(정답).
  3. 인자 A 의 자유도가 1 이라 수준이 2 이고 인자 B 의 자유도가 3 이라 수준이 4 이므로 이 보기는 옳다.
  4. 인자 A 의 유의확률이 0.011 로 유의수준 5% 보다 작아 주효과가 유의하다고 판정되므로 이 보기는 옳다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 교호작용의 자유도를 두 인자의 자유도를 더해 구한 학생이다. 곱해야 한다는 규칙을 찾아 1 과 3 을 곱한 3 으로 고치고 평균제곱을 400 으로 채웠다. 교호작용 자유도가 두 주효과 자유도의 곱이라는 것을 표 옆에 적었다.
  2. 甲은 자료 수를 자유도의 합에 1 을 더해 구하려다 오차 자유도를 빠뜨린 수험생이다. 네 자유도를 모두 더한 뒤 1 을 보태 16 이라는 수를 얻었다. 자유도를 다 더하면 자료 수보다 하나 적다는 관계를 외워 두었다.
  3. 甲은 자유도에서 수준 수를 거꾸로 읽어 인자 A 를 네 수준으로 본 응시자다. 자유도가 수준 수보다 하나 작다는 관계를 대조해 2 와 4 로 바로잡았다. 수준 수에서 하나를 빼면 자유도가 된다는 방향으로 고쳐 적었다.
  4. 甲은 유의확률만 보고 유의한지 판정하는 데 익숙하지 않던 학생이다. 0.011 이 0.05 보다 작으니 귀무가설을 버린다는 규칙을 적용해 주효과가 유의하다고 적었다.

  오차 자유도 8 은 수준조합 여덟에 반복수에서 1 을 뺀 값을 곱한 것이라 반복수가 2 이고 자료 수는 2 와 4 와 2 를 곱한 16 개인데 15 개라고 한 2번이 옳지 않다.

• 20

  정규분포로부터 임의추출한 자료의 정규확률그림(정규분포 분위수대분위수 그림, normal probability plot)은?

  1. 1.
  2. 2.
  3. 3.
  4. 4.

  정답 3번

  🔍 보기별 해설

  1. 이 그림은 점들이 한쪽으로 휘어 있어 자료의 분위수가 정규분포의 분위수와 일정한 비례로 대응하지 않으므로 해당하지 않는다.
  2. 이 그림도 곧은 선에서 벗어나 굽어 있어 꼬리 쪽에서 정규분포보다 값이 치우쳐 있다는 뜻이 되므로 해당하지 않는다.
  3. 점들이 왼쪽 아래에서 오른쪽 위로 거의 한 직선 위에 놓여 자료의 분위수가 표준정규분포의 분위수와 비례하므로 이 보기가 해당한다(정답).
  4. 이 그림은 가운데와 끝의 기울기가 달라 꺾인 모양이라 정규분포에서 나온 자료로 보기 어려우므로 해당하지 않는다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 정규확률그림에서 무엇과 무엇을 짝짓는지 몰라 막힌 학생이다. 가로에 표준정규분포의 분위수를 세로에 자료의 분위수를 놓는다는 설명을 읽고 축의 이름부터 살폈다.
  2. 甲은 점들이 굽은 그림을 보고 자료가 고르게 퍼져 있다고 읽은 수험생이다. 굽었다는 것은 정규분포와 어긋난다는 뜻이라는 대목에서 판정 방향을 뒤집었다. 굽은 쪽이 어느 꼬리인지까지 보면 치우침의 방향도 읽힌다고 적었다.
  3. 甲은 네 그림 가운데 가장 곧은 것을 자로 대어 가린 응시자다. 끝 몇 점이 살짝 벗어난 것은 표본이라 생길 수 있는 흔들림이라는 설명을 읽고 그대로 골랐다. 가운데가 곧은지부터 보고 끝은 나중에 본다는 차례를 세웠다.
  4. 甲은 그림이 직선이면 무엇을 뜻하는지 한 줄로 정리해 둔 학생이다. 자료의 분위수가 정규분포의 분위수에 비례한다는 문장을 써 두고 다음 문제에도 그대로 썼다. 그림 하나를 골라 축과 점의 뜻을 짧게 달아 두었다.

  정규확률그림은 자료의 분위수와 표준정규분포의 분위수를 짝지어 찍은 것이라 자료가 정규분포를 따르면 점들이 한 직선 위에 놓이므로 직선인 3번이 해당한다.

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• 21

  두 자료 A, B의 줄기－잎 그림에 대한 설명으로 옳지 않은 것은?

  AB095915 865 824 4 4 8 8 874 4 4 8 8 832 582 54191

  1. 1. 변동계수는 서로 같다.
  2. 2. 범위는 서로 같다.
  3. 3. 사분위수범위는 서로 같다.
  4. 4. 표준편차는 서로 같다.

  정답 1번

  🔍 보기별 해설

  1. B 의 값은 A 의 값에 50 을 더한 것이라 표준편차가 같아도 평균이 25.5 와 75.5 로 달라 변동계수가 약 0.34 와 0.12 로 다르므로 변동계수가 서로 같다는 이 설명은 옳지 않다(정답).
  2. B 의 가장 작은 값은 59 이고 가장 큰 값은 91 이라 범위가 32 이고 A 의 9 와 41 에서 나온 범위 32 와 같으므로 범위가 서로 같다는 이 설명은 옳다.
  3. 모든 값에 같은 수 50 을 더하면 사분위수가 함께 50 만큼 옮겨 갈 뿐이라 사분위수범위는 그대로이므로 두 자료의 사분위수범위가 같다는 이 설명은 옳다.
  4. 각 값에서 평균을 뺀 편차가 A 와 B 에서 똑같아 표준편차가 약 8.7 로 서로 같으므로 표준편차가 서로 같다는 이 설명은 옳다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 두 줄기-잎 그림에서 두 자료의 평균과 표준편차를 각각 재어 본 수험생이다. 퍼진 정도가 같아도 평균이 약 50 차이 나면 표준편차를 평균으로 나눈 변동계수는 같을 수 없다는 점을 확인해 이 보기를 골랐다.
  2. 甲은 두 그림에서 가장 위 잎과 가장 아래 잎을 골라 뺄셈으로 범위를 구한 응시자다. A 는 41 에서 9 를, B 는 91 에서 59 를 빼서 모두 32 라는 값을 얻고 범위가 같다는 진술을 옳은 쪽에 두었다.
  3. 甲은 사분위수를 구할 때 자료를 크기순으로 세워 둔 학생이다. B 의 모든 값이 A 보다 정확히 50 씩 크므로 세 사분위수도 50 씩 옮겨 가고 그 차이인 사분위수범위는 같다는 것을 셈으로 확인했다.
  4. 甲은 두 자료의 편차 제곱합을 나란히 적어 본 수험생이다. 값마다 50 을 더해도 평균이 똑같이 50 올라 편차가 그대로이므로 표준편차가 8.7 정도로 같다는 것을 알고 이 진술을 옳은 것으로 분류했다.

  B 는 A 의 모든 값에 50 을 더한 자료라 퍼진 정도를 재는 범위·사분위수범위·표준편차는 같지만 평균이 달라 변동계수는 같지 않으므로 옳지 않은 것은 1번이다.

• 22

  두 확률변수 X 와 Y 의 결합확률분포가 다음과 같을 때, 이에 대한 설명으로 옳은 것은?

  <div class="tbl-wrap"><table class="jtbl"><thead><tr><th>X Y</th><th>0</th><th>2</th></tr></thead><tbody><tr><td>0</td><td>{1 / 8}</td><td>{1 / 8}</td></tr><tr><td>2</td><td>{3 / 8}</td><td>{3 / 8}</td></tr></tbody></table></div>

  1. 1. E (X) = {3 / 4}
  2. 2. Var(X) = {1 / 2}
  3. 3. E (X + Y) = {3 / 2}
  4. 4. P (X + Y = 2) = {1 / 2}

  정답 4번

  🔍 보기별 해설

  1. E(X) 는 X 가 2 일 확률 3/4 에 값 2 를 곱한 3/2 이라 3/4 이 아니다. 3/4 는 P(X=2) 의 값이지 기댓값이 아니므로 E(X)=3/4 라는 이 설명은 옳지 않다.
  2. Var(X)는 E(X²)=4×3/4=3 에서 E(X)²=9/4 를 뺀 3/4 이라 1/2 이 아니다. 1/2 은 P(X+Y=2) 의 값일 뿐이므로 Var(X)=1/2 라는 이 설명은 옳지 않다.
  3. E(X+Y) 는 E(X)=3/2 와 E(Y)=1 을 더한 5/2 이다. 3/2 는 E(X) 만의 값이라 E(X+Y)=3/2 라는 이 설명은 옳지 않다.
  4. X+Y 가 2 가 되는 경우는 (X,Y)=(0,2) 와 (2,0) 뿐이고 그 확률이 1/8 과 3/8 이라 합이 1/2 이므로 P(X+Y=2)=1/2 라는 이 설명은 옳다(정답).

  🧮 풀이

  1. 甲은 결합확률표에서 X 가 0 인 행과 2 인 행의 합을 따로 낸 학생이다. X=2 의 확률이 3/8+3/8=3/4 라는 것만 적고 여기에 값 2 를 곱하지 않아 기댓값을 3/4 로 놓았다가 3/2 로 바로잡았다.
  2. 甲은 분산을 구하며 X² 의 기댓값을 먼저 구한 수험생이다. 값 2 의 제곱 4 에 확률 3/4 를 곱한 3 에서 E(X) 의 제곱 9/4 를 빼 3/4 라는 값을 얻고 1/2 이라는 보기와 어긋남을 확인했다.
  3. 甲은 X 와 Y 의 주변확률을 각각 세운 응시자다. X 는 2 가 될 확률이 3/4 이고 Y 는 2 가 될 확률이 1/2 이라 E(X)=3/2, E(Y)=1 이므로 두 기댓값을 더한 5/2 가 E(X+Y) 이라는 것을 표로 정리했다.
  4. 甲은 표의 네 칸 가운데 합이 2 가 되는 칸이 어디인지 색연필로 표시해 본 응시자다. 표시한 두 칸을 합쳐 4/8 이 되어 보기에 적힌 값과 같아지는 것을 보고 이 보기를 답으로 골랐다.

  P(X+Y=2) 는 (0,2) 와 (2,0) 의 확률 1/8 과 3/8 을 더한 1/2 이고 E(X)=3/2, Var(X)=3/4, E(X+Y)=5/2 라서 옳은 것은 4번이다.

• 23

  정규분포를 따르는 확률변수 X 에 대하여 P (X ≤ 2) = 0.2 이고 P (X ≤ 12) = 0.8 일 때, P (2 ≤ X ≤ 7) 의 값은?

  1. 1. 0.35
  2. 2. 0.3
  3. 3. 0.25
  4. 4. 0.2

  정답 2번

  🔍 보기별 해설

  1. 0.35 는 P(X≤2)=0.2 와 P(X≤7)=0.5 의 차 0.3 에서 나오지 않는 값이므로 P(2≤X≤7) 의 값으로 옳지 않다.
  2. 2 와 12 는 평균 7 을 가운데 두고 5 씩 떨어진 점이라 P(X≤7)=0.5 이고 P(2≤X≤7)=0.5−0.2=0.3 이므로 이 값이 옳다(정답).
  3. 0.25 는 P(X≤7)=0.5 에서 P(X≤2)=0.2 를 뺀 0.3 과 다르고 이 계산에서는 나오지 않는 값이므로 옳지 않다.
  4. 0.2 는 P(X≤2) 그 자체의 값이라 2 부터 평균 7 까지의 확률 P(2≤X≤7)=0.3 과 같을 수 없으므로 옳지 않다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 P(X≤2)=0.2 와 P(X≤12)=0.8 이 서로 대칭이라는 점을 수직선에 그려 본 학생이다. 두 점의 가운데인 7 이 평균이라 P(X≤7)=0.5 이고 여기서 0.2 를 뺀 0.3 이 구하는 확률이라는 것을 확인했다.
  2. 甲은 0.35 라는 값이 어디서 나오는지 식을 바꿔 가며 따져 본 수험생이다. 0.5−0.2 도 0.8−0.5 도 모두 0.3 이라 0.35 는 나오지 않는다는 것을 확인하고 이 보기를 지웠다.
  3. 甲은 평균 7 을 기준으로 왼쪽 확률과 오른쪽 확률을 종이 위에 나란히 그린 응시자다. 2 에서 7 까지의 넓이가 0.5 에서 0.2 를 뺀 것이라 0.3 이 되는 것을 그림으로 확인했다.
  4. 甲은 P(X≤2) 가 곧 0.2 라는 사실만 보고 2 부터 7 까지의 확률도 0.2 라고 적은 학생이다. 0.2 는 2 왼쪽의 꼬리 넓이일 뿐이고 구하는 넓이는 평균 왼쪽 0.5 에서 이것을 뺀 것이라는 점을 짚었다.

  정규분포는 평균에 대해 좌우 대칭이라 P(X≤2)=0.2 와 P(X≤12)=0.8 이 서로 대칭인 점이므로 평균은 7 이고 P(2≤X≤7)=0.5−0.2=0.3 이므로 2번이 옳다.

• 24

  두 확률변수 X 와 Y 가 각각 성공의 확률이 0.3 과 0.7 인 베르누이 분포를 따르고 서로 독립일 때, P (X ! = Y) 의 값은?

  1. 1. 0.09
  2. 2. 0.21
  3. 3. 0.49
  4. 4. 0.58

  정답 4번

  🔍 보기별 해설

  1. 0.09 는 X=1 이고 Y=0 인 한 칸의 확률 0.3×0.3 일 뿐이라 X=0 이고 Y=1 인 칸의 확률 0.49 가 빠져 있으므로 P(X≠Y) 의 값으로 옳지 않다.
  2. 0.21 은 X=1 이고 Y=1 인 칸의 확률 0.3×0.7 이라 두 변수가 같은 값을 갖는 경우의 한 칸이므로 서로 다른 경우를 묻는 P(X≠Y) 의 값으로 옳지 않다.
  3. 0.49 는 X=0 이고 Y=1 인 한 칸의 확률 0.7×0.7 일 뿐이라 X=1 이고 Y=0 인 칸의 확률 0.09 가 빠져 있으므로 P(X≠Y) 의 값으로 옳지 않다.
  4. 두 변수가 다른 값을 갖는 경우는 (X,Y)=(1,0) 과 (0,1) 뿐이고 독립이라 확률이 0.3×0.3=0.09 와 0.7×0.7=0.49 이므로 합 0.58 이 P(X≠Y) 이고 이 값이 옳다(정답).

  🧮 풀이

  1. 甲은 X 와 Y 가 서로 다른 경우를 표로 나눠 적어 본 학생이다. X 가 1 이고 Y 가 0 인 칸 0.09 만 적고 X 가 0 이고 Y 가 1 인 칸을 빠뜨린 것을 발견해 0.09 를 답으로 두었던 표시를 지웠다.
  2. 甲은 두 변수가 모두 성공하는 칸의 확률 0.3×0.7=0.21 을 구해 본 수험생이다. 이 칸은 X 와 Y 가 같은 값을 갖는 경우라 서로 다른 경우를 묻는 문제와 맞지 않다는 것을 알고 이 보기를 지웠다.
  3. 甲은 X 가 0 이고 Y 가 1 인 칸의 확률 0.49 만 계산한 응시자다. X 가 1 이고 Y 가 0 인 칸도 X≠Y 에 속해 0.09 를 더해야 한다는 것을 떠올리고 0.49 만 적힌 이 보기를 지웠다.
  4. 甲은 독립이라는 조건 아래 네 칸의 확률을 곱으로 모두 적은 학생이다. 서로 다른 값을 갖는 두 칸 0.09 와 0.49 를 더해 0.58 을 얻고 같은 값을 갖는 두 칸은 제외한 것을 확인해 이 보기를 골랐다.

  X 와 Y 는 독립이라 X=1·Y=0 의 확률 0.3×0.3=0.09 와 X=0·Y=1 의 확률 0.7×0.7=0.49 를 더한 0.58 이 P(X≠Y) 이므로 4번이 옳다.

• 25

  어느 회사에서 경력에 따라 연봉에 차이가 있는지 알아보기 위해 1 년 미만, 1 년 이상 3 년 미만, 3 년 이상의 경력을 가진 직원을 각각 100 명씩 임의추출하여 연봉(단위: 만 원)을 조사한 결과 다음과 같은 분할표를 얻었다. 연봉 경력3,000 미만3,000 이상 4,000 미만4,000 이상 5,000 미만5,000 이상1 년 미만30502001 년 이상 3 년 미만203040103 년 이상10103050 “경력에 따른 연봉에 차이는 없다.”라는 가정하에서 구한 기대도수에 대한 설명으로 옳지 않은 것은?

  1. 1. 기대도수와 관측도수 차의 절댓값의 최솟값은 0 이다.
  2. 2. 기대도수와 관측도수 차의 절댓값의 최댓값은 30 이다.
  3. 3. 기대도수의 최솟값은 10 이다.
  4. 4. 기대도수의 최댓값은 30 이다.

  정답 3번

  🔍 보기별 해설

  1. 1 년 이상 3 년 미만 집단의 3,000 이상 4,000 미만 칸은 관측도수 30 에 기대도수도 100×90/300=30 이라 차의 절댓값이 0 인 칸이 있으므로 그 최솟값이 0 이라는 이 설명은 옳다.
  2. 3 년 이상이고 5,000 이상인 칸은 관측도수 50 에 기대도수 20 이라 차가 30 으로 가장 크므로 차의 절댓값의 최댓값이 30 이라는 이 설명은 옳다.
  3. 기대도수는 행 합계 100 에 열 합계를 전체 300 으로 나눈 비를 곱해 20, 30, 30, 20 이라 최솟값이 20 이므로 10 이라는 이 설명은 옳지 않다(정답).
  4. 기대도수는 20 과 30 두 값뿐이고 큰 쪽이 30 이므로 기대도수의 최댓값이 30 이라는 이 설명은 옳다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 세 경력 집단의 행 합계 100 과 연봉 구간의 열 합계를 적어 놓고 차이를 살핀 학생이다. 관측도수와 기대도수가 같은 30 인 칸이 있어 차가 0 이라는 것을 확인하고 이 진술을 옳은 것으로 분류했다.
  2. 甲은 열두 칸의 관측도수와 기대도수 차를 모두 표에 옮겨 적은 수험생이다. 가장 큰 차가 3 년 이상 집단의 5,000 이상 칸에서 50 대 20 으로 나오는 30 이라는 것을 확인하고 옳다고 표시했다.
  3. 甲은 기대도수가 열 합계에 행 합계를 곱해 전체로 나눈 값이라는 것을 적어 놓고 넷을 계산한 학생이다. 60 과 90 에서 나온 값이 20 과 30 뿐이라 최솟값이 10 이라는 진술이 틀린다는 것을 찾아 골랐다.
  4. 甲은 기대도수 표에서 값이 가장 큰 칸을 찾은 응시자다. 90 이 열 합계인 두 열에서 30 이 나오고 이보다 큰 값은 없다는 것을 세어 보고 이 진술이 옳다고 표시했다.

  연봉 열의 합계가 60, 90, 90, 60 이라 기대도수의 최솟값은 20 이고 10 이 아니므로 기대도수의 최솟값이 10 이라는 3번이 옳지 않다.

• 26

  정규분포를 따르는 두 모집단 N (μ_X , σ_X^2) 과 N (μ_Y , σ_Y^2) 에서 각각 독립표본 X_1 ,X_2 , ..., X_5 와 Y_1 ,Y_2 , ..., Y_6 을 임의추출하여 구한 표본분산을 순서대로 24 와 9 라고 하자. 확률변수 W 는 분자와 분모의 자유도가 각각 4 와 5 인 F 분포를 따를 때, 가설 H_0 : σ_X^2/σ_Y^2 = 1 대 H_1 : σ_X^2/σ_Y^2 > 1 에 대한 검정에서 유의확률과 같은 것은?

  1. 1. P (W ≥ {3 / 8})
  2. 2. P (W ≥ {8 / 3})
  3. 3. P (W ≥ {15 / 32})
  4. 4. P (W ≥ {32 / 15})

  정답 2번

  🔍 보기별 해설

  1. 3/8 은 표본분산비 8/3 의 역수이므로 24/9 가 아니라 9/24 로 분자와 분모를 뒤집은 값이라 유의확률의 경계로는 옳지 않다.
  2. 표본분산을 X 는 24, Y 는 9 로 나눈 비 8/3 이 검정통계량 값이고 대립가설이 분산비가 1 보다 크다는 것이라 유의확률은 P(W≥8/3) 이므로 이 식이 옳다(정답).
  3. 15/32 는 32/15 의 역수이고 32/15 는 표본분산비 8/3 에 자유도의 비 4/5 를 곱한 값이라 표본분산비 자체가 아니므로 옳지 않다.
  4. 32/15 는 표본분산비 8/3 에 자유도의 비 4/5 를 곱해 얻은 값일 뿐 검정통계량이 아니므로 유의확률의 경계로는 옳지 않다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 표본분산 24 와 9 로 분산비를 만들 때 분모와 분자를 거꾸로 둔 수험생이다. 3/8 이 8/3 의 역수라는 것을 확인하고 대립가설이 X 쪽 분산이 크다는 것이라 큰 값 8/3 을 경계로 삼아야 한다는 것을 알았다.
  2. 甲은 F 분포표에서 자유도 4 와 5 의 오른쪽 꼬리를 읽으려던 학생이다. 표본분산 24 를 9 로 나눈 값이 클수록 X 쪽 분산이 크다는 증거가 되어, 그 값 이상이 나올 확률을 유의확률로 잡고 이 보기를 골랐다.
  3. 甲은 표본분산비에 자유도의 비까지 곱하는 풀이를 시험해 본 응시자다. 8/3×4/5 가 32/15 라 나오고 그 역수가 15/32 라는 것을 계산해 확인하고 검정통계량은 표본분산비 자체라는 것을 다시 읽었다.
  4. 甲은 표본분산비 8/3 에 4/5 를 곱해 32/15 라는 값이 나오는 것을 보고 이것을 통계량이라 착각한 학생이다. 검정통계량은 두 표본분산의 비 그대로라는 것을 떠올리고 이 보기를 지웠다.

  H₁ 이 σ_X²/σ_Y² > 1 이라 표본분산비 24/9=8/3 이 클수록 기각하므로 유의확률은 오른쪽 꼬리의 P(W≥8/3) 이며 2번이 옳다.

• 27

  고혈압 환자 20 명 중에서 임의추출한 10 명으로 이루어진 집단 A에는 신약을 처방하고 나머지 10 명으로 이루어진 집단 B에는 기존 약을 처방한 뒤 4 주 후에 혈압을 측정하였다. 다음은 두 집단의 혈압이 각각 동일한 분산을 갖는 정규분포를 따른다고 가정하고 분석한 결과이다. 공통분산의 추정량의 자유도는 k 이고 t(0.025) (k) = 2.1 이라고 할 때, 두 집단의 평균 혈압 차에 대한 95% 신뢰구간은 (-12.2, -3.8) 이다. 공통분산의 추정량을 S_p^2 이라고 할 때, k 와 S_p^2 의 값을 바르게 연결한 것은? (단, t(α) (k) 는 자유도가 k 인 t 분포의 제 100 × (1-α) 백분위수이다)

  k S_p^2

  1. 1. 9 10
  2. 2. 9 20
  3. 3. 18 10
  4. 4. 18 20

  정답 4번

  🔍 보기별 해설

  1. k=9 는 한 집단의 표본 수 10 에서 1 을 뺀 값이고 두 집단을 합친 자유도는 18 이며 S_p²=10 이면 반폭이 2.1×√(10×0.2)≈2.97 이라 4.2 와도 맞지 않으므로 옳지 않다.
  2. S_p²=20 은 반폭 4.2 에서 나오는 값과 같지만 k=9 는 한 집단의 자유도이고 공통분산의 자유도는 두 집단을 합친 10+10−2=18 이므로 이 짝은 옳지 않다.
  3. k=18 은 10+10−2 로 맞지만 S_p²=10 이면 반폭이 2.1×√(10×0.2)≈2.97 이라 주어진 반폭 4.2 와 맞지 않으므로 이 짝은 옳지 않다.
  4. 자유도는 10+10−2=18 이고 반폭 4.2=2.1×표준오차에서 표준오차 2 를 얻어 S_p²=4/(1/10+1/10)=20 이므로 (18, 20) 이 옳다(정답).

  🧮 풀이

  1. 甲은 두 집단의 표본 수가 각각 10 인 것을 보고 자유도를 9 와 9 중 하나로 적은 수험생이다. 공통분산의 자유도는 두 집단의 자유도를 합쳐 18 이 되는 것을 확인하고 k 가 9 인 첫째 보기를 지웠다.
  2. 甲은 S_p² 를 20 으로 옳게 구하고 k 를 9 로 적은 학생이다. 분산 값은 맞지만 공통분산의 자유도는 한 집단이 아니라 두 집단을 합한 18 이라는 것을 알고 둘째 보기를 지웠다.
  3. 甲은 자유도 18 을 맞게 적은 뒤 S_p² 를 10 으로 놓고 구간의 전체 폭을 다시 만들어 본 응시자다. 폭이 약 5.9 라 주어진 구간 (−12.2, −3.8) 의 폭 8.4 에 못 미쳐 셋째 보기를 지웠다.
  4. 甲은 신뢰구간 (−12.2, −3.8) 의 반폭 4.2 를 2.1 로 나눠 표준오차 2 를 얻은 수험생이다. 표준오차의 제곱 4 를 1/10+1/10 로 나눠 20 을 구하고 자유도 18 과 함께 이 보기를 골랐다.

  신뢰구간의 반폭 4.2 는 2.1×표준오차이므로 표준오차가 2 이고 표준오차²=S_p²(1/10+1/10)=4 에서 S_p²=20 이며 자유도는 10+10−2=18 이라 (18, 20) 인 4번이 옳다.

• 28

  자료 (x_i, y_i) (i = 1,2, … ,6) 에 단순선형회귀모형 y_i = β_0 + β_1 x_i + ε_i 를 최소제곱법으로 적합하여 다음 값을 얻었다. Σ(i = 1~6) (y_i - ŷ_i)^2 = 150 , Σ(i = 1~6) (y_i - ȳ)^2 = 270 , Σ(i = 1~6) (x_i - x̄)^2 = 30 x 와 y 의 표본상관계수가 음수일 때, β_1 의 추정값은? (단, ŷ_i 는 y_i 의 적합값이다)

  1. 1. 2
  2. 2. -2
  3. 3. √(5)
  4. 4. - √(5)

  정답 2번

  🔍 보기별 해설

  1. 기울기의 부호는 상관계수의 부호와 같은데 문제에서 상관계수가 음수라 했으므로 크기 2 에 양의 부호를 붙인 이 값은 옳지 않다.
  2. 회귀제곱합 120 을 Sxx 30 으로 나눈 4 가 β₁² 이므로 절댓값이 2 이고 상관계수가 음수라 기울기도 음수이므로 β₁=−2 이며 이 값이 옳다(정답).
  3. √5 는 잔차제곱합 150 을 Sxx 30 으로 나눈 5 의 제곱근이라 회귀제곱합 120 이 아닌 잔차제곱합을 쓴 값이고 부호도 양수라 옳지 않다.
  4. −√5 는 잔차제곱합 150 을 30 으로 나눈 5 의 제곱근에 음의 부호를 붙인 값이라 β₁²=SSR/Sxx=4 에서 나오는 −2 와 다르므로 옳지 않다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 기울기 추정값이 양수 2 로도 나올 수 있다고 여겨 부호를 따지지 않은 학생이다. 문제가 표본상관계수를 음수라 밝혔고 기울기와 상관계수는 같은 부호라는 것을 알아 양수 2 를 지웠다.
  2. 甲은 총제곱합 270 에서 잔차제곱합 150 을 빼 회귀제곱합 120 을 얻은 응시자다. 120 을 30 으로 나누어 4 를 얻고 상관계수가 음수라는 조건으로 −2 를 골랐다.
  3. 甲은 기울기의 제곱을 구하며 150 을 30 으로 나누는 풀이를 시도한 수험생이다. 5 가 나오지만 이것은 잔차제곱합을 쓴 값이라 기울기와 무관하다는 것을 확인하고 √5 를 지웠다.
  4. 甲은 √5 가 나온 풀이에 음의 부호만 붙이면 조건과 맞는다고 본 학생이다. 크기가 SSE 를 Sxx 로 나눈 값에서 나온 것이라 회귀제곱합에서 나온 크기 2 와 다르다는 것을 알고 이 보기를 지웠다.

  회귀제곱합 270−150=120 을 Sxx=30 으로 나눈 4 가 기울기의 제곱이고 상관계수가 음수이므로 β₁=−2 이며 2번이 옳다.

• 29

  다음 표는 세 학생 집단 A, B, C의 시험성적을 비교하기 위해 각 집단에서 4 명씩 임의추출하여 작성한 분산분석표의 일부이다. 요인제곱합자유도평균제곱F －값처리(가)오차(나)계(다)(라) 집단 A와 B의 시험성적의 모평균이 동일하다고 가정하고 하나의 집단으로 묶어서 집단 C와 비교하기 위한 분산분석표를 다시 작성한다고 할 때, (가) ～ (라) 중에서 변하지 않는 것만을 모두 고르면?

  1. 1. (가), (나)
  2. 2. (가), (다)
  3. 3. (나), (라)
  4. 4. (다), (라)

  정답 4번

  🔍 보기별 해설

  1. (가) 처리제곱합은 묶으면 A 와 B 사이의 평균 차이만큼 줄어 표본평균이 다르면 달라지고 (나) 오차제곱합도 그만큼 늘어 달라지므로 (가), (나) 는 변하지 않는 것에 해당하지 않는다.
  2. (다) 총제곱합은 그대로이지만 (가) 처리제곱합은 묶으면 A 와 B 사이의 평균 차이만큼 달라지므로 (가), (다) 를 함께 고른 이 보기는 변하지 않는 것만을 고른 것에 해당하지 않는다.
  3. (라) 총자유도는 그대로이지만 (나) 오차제곱합은 묶으면 A 와 B 사이의 평균 차이가 오차에 더해져 표본평균이 다르면 커지므로 (나), (라) 를 함께 고른 이 보기는 해당하지 않는다.
  4. 같은 자료 12 개의 총제곱합 (다) 와 총자유도 12−1=11 인 (라) 는 집단을 어떻게 묶어도 그대로이고 처리와 오차 쪽 (가), (나) 만 달라지므로 (다), (라) 를 고른 이 보기가 해당한다(정답).

  🧮 풀이

  1. 甲은 세 집단을 두 집단으로 줄이면 처리제곱합의 식이 바뀐다는 것을 표로 정리해 본 학생이다. (가) 도 (나) 도 달라지는 값인데 둘을 변하지 않는 쪽에 둔 첫째 보기를 지웠다.
  2. 甲은 총제곱합 (다) 가 그대로라는 것은 알았지만 (가) 도 그대로라고 본 응시자다. 총제곱합이 같아도 처리와 오차로 나뉘는 몫은 묶는 방식에 따라 달라진다는 것을 확인하고 둘째 보기를 지웠다.
  3. 甲은 오차제곱합이 집단 안 변동만 모은 값이라 두 집단을 묶으면 A 와 B 사이의 차이가 오차로 넘어온다는 것을 그림으로 그린 수험생이다. (나) 가 변하므로 셋째 보기를 지웠다.
  4. 甲은 자료 12 개가 그대로이므로 편차의 제곱합과 자유도 11 이 집단 나누기와 무관하다는 것을 확인한 응시자다. 총제곱합 (다) 와 총자유도 (라) 만 남는다고 보고 넷째 보기를 골랐다.

  두 집단 A 와 B 를 하나로 묶어도 자료 12 개의 총제곱합 (다) 와 총자유도 11 인 (라) 는 그대로이고 처리제곱합 (가) 와 오차제곱합 (나) 는 표본평균이 다르면 달라지므로 변하지 않는 것은 (다), (라) 이고 정답은 4번이다.

• 30

  어느 영업사원에게 걸려오는 전화통화 수는 한 시간에 평균 6 인 포아송분포를 따른다. 두 확률변수 U 와 V 는 각각 평균이 2 와 6 인 포아송분포를 따른다고 할 때, 오전 9 시 이후 이 영업사원에게 처음 걸려오는 전화가 같은 날 오전 9 시 20 분 이후일 확률과 같은 것은?

  1. 1. P (U = 0)
  2. 2. P (U = 1)
  3. 3. P (V = 0)
  4. 4. P (V = 1)

  정답 1번

  🔍 보기별 해설

  1. 처음 20 분 동안 통화가 없을 확률이므로 시간을 1/3 로 줄인 평균 2 에서 통화 수가 0 인 확률 P(U=0) 이 구하는 값이고 이 보기가 옳다(정답).
  2. P(U=1) 은 20 분 동안 통화가 정확히 한 통 올 확률이라 처음 전화가 20 분 안에 오는 경우이므로 20 분 이후에 첫 전화가 온다는 사건의 확률로는 옳지 않다.
  3. P(V=0) 은 평균 6 인 한 시간 동안 통화가 없을 확률이라 20 분이 아닌 한 시간에 대한 값이므로 20 분 이후라는 사건의 확률로는 옳지 않다.
  4. P(V=1) 은 한 시간 동안 통화가 정확히 한 통 올 확률이라 처음 20 분에 통화가 없어야 한다는 조건과 무관하므로 옳지 않다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 9 시 20 분 이후에 첫 전화가 온다는 말을 처음 20 분 동안 통화가 없다는 뜻으로 옮겨 적은 학생이다. 한 시간의 평균 6 이 20 분에는 2 로 줄어든다는 것을 확인하고 P(U=0) 을 골랐다.
  2. 甲은 통화가 한 통 온다는 사건과 첫 통화가 늦다는 사건을 같은 것으로 본 수험생이다. 첫 통화가 20 분 이후라는 것은 20 분 안에 0 통이라는 뜻이라 P(U=1) 과 다르다는 것을 알고 이 보기를 지웠다.
  3. 甲은 평균이 6 인 V 를 20 분 사건에 그대로 쓴 응시자다. 20 분 동안의 평균은 6 의 3 분의 1 인 2 라 P(V=0) 은 한 시간 동안 통화가 없을 확률이라는 것을 확인하고 이 보기를 지웠다.
  4. 甲은 포아송 공식에 평균 6 을 넣어 정확히 한 통이 걸려 올 확률을 계산한 수험생이다. 값이 약 0.015 로 나와 20 분 동안 전화가 없을 확률 약 0.135 와 아홉 배 남짓 차이 나므로 이 보기를 지웠다.

  오전 9 시 이후 첫 전화가 20 분 뒤에 오려면 처음 20 분 동안 전화가 0 통이어야 하고 20 분의 평균은 6×1/3=2 라 그 확률은 평균 2 인 포아송의 P(U=0) 이므로 1번이 옳다.

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• 31

  자료의 퍼진 정도를 나타내는 측도 중에서 원자료와 같은 측정 단위를 갖는 것만을 모두 고르면?

  ㄱ. 표준편차

  ㄴ. 사분위수범위

  ㄷ. 분산

  ㄹ. 변동계수

  1. 1. ㄱ, ㄴ
  2. 2. ㄱ, ㄷ
  3. 3. ㄴ, ㄹ
  4. 4. ㄷ, ㄹ

  정답 1번

  🔍 보기별 해설

  1. 표준편차 ㄱ 은 편차 제곱의 평균에 제곱근을 씌워 원자료와 같은 단위가 되고 사분위수범위 ㄴ 은 두 사분위수의 차라 같은 단위이므로 ㄱ, ㄴ 을 고른 이 보기가 해당한다(정답).
  2. ㄷ 분산은 편차를 제곱해 평균낸 값이라 단위도 제곱이 되어 원자료와 같은 단위가 아니므로 ㄷ 을 함께 고른 이 보기는 해당하지 않는다.
  3. ㄹ 변동계수는 표준편차를 평균으로 나눠 단위가 사라진 무단위 값이라 원자료와 같은 단위가 아니므로 ㄹ 을 함께 고른 이 보기는 해당하지 않는다.
  4. ㄷ 분산은 단위가 제곱이고 ㄹ 변동계수는 단위가 없어 두 측도 모두 원자료와 같은 단위가 아니므로 ㄷ, ㄹ 을 고른 이 보기는 해당하지 않는다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 키를 센티미터로 잰 자료라고 가정하고 네 측도의 단위를 하나씩 적어 본 학생이다. 표준편차와 사분위수범위가 모두 센티미터라는 것을 확인하고 두 측도가 든 첫째 보기를 답으로 골랐다.
  2. 甲은 분산을 표준편차와 같은 단위로 읽은 수험생이다. 키를 센티미터로 재면 편차를 제곱한 분산은 제곱센티미터라는 것을 다시 계산해 보고, 원래 단위와 같지 않다는 이유로 분산이 든 둘째 보기를 지웠다.
  3. 甲은 변동계수를 퍼진 정도를 재는 측도라는 이유로 원자료와 같은 단위로 본 응시자다. 표준편차를 평균으로 나누면 단위가 약분되어 사라진다는 것을 확인하고 변동계수가 든 셋째 보기를 지웠다.
  4. 甲은 분산과 변동계수를 함께 골라 본 학생이다. 하나는 단위가 제곱이고 다른 하나는 단위가 없어 어느 쪽도 원자료와 같은 단위가 아니라는 것을 확인하고 넷째 보기를 지웠다.

  표준편차와 사분위수범위는 원자료와 같은 단위이고 분산은 단위의 제곱, 변동계수는 단위가 없으므로 원자료와 같은 단위를 갖는 것은 ㄱ, ㄴ 이고 정답은 1번이다.

• 32

  동전 한 개를 연속해서 10 번 던질 때, 처음 6 번의 시행에서는 뒷면이 2 번 나오고 나머지 4 번의 시행에서는 앞면이 2 번 나올 확률은?

  1. 1. {15 / 2^9}
  2. 2. {15 / 2^10}
  3. 3. {45 / 2^9}
  4. 4. {45 / 2^10}

  정답 3번

  🔍 보기별 해설

  1. 15/2^9 은 뒤 네 번의 조합 C(4,2)=6 을 2 로 잘못 센 값으로 15/2^6×2/2^4=15/2^9 이 되지만, 실제 경우의 수는 6 이라 15×6/2^10=45/2^9 이므로 이 보기는 옳지 않다.
  2. 15/2^10 은 처음 여섯 번의 경우의 수 C(6,2)=15 만 세고 나머지 네 번의 경우의 수 C(4,2)=6 을 곱하지 않은 값이라 옳지 않다.
  3. 처음 6 번의 경우의 수 15 와 나머지 4 번의 경우의 수 6 을 곱하면 90 이고 전체 경우의 수가 2^10 이라 90/2^10 은 약분하면 45/2^9 이므로 이 값이 옳다(정답).
  4. 45/2^10 은 90/2^10 을 약분한 45/2^9 의 절반이라 분자 45 는 맞아도 분모가 한 단계 큰 2^10 이 되어 옳지 않다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 뒤 네 번에서 앞면 두 번이 나오는 방법을 6 가지가 아니라 2 가지로 센 수험생이다. 그러면 15×2/2^10=15/2^9 이 되지만 네 번 중 두 번을 고르는 C(4,2)는 6 이라 45/2^9 이 되어야 한다는 점을 확인하고 이 보기를 지웠다.
  2. 甲은 처음 여섯 번에서 뒷면 두 번을 고르는 방법 15 가지만 세고 전체 경우의 수 2^10 으로 나눈 수험생이다. 뒤의 네 번에서 앞면 두 번을 고르는 방법 6 가지를 빠뜨렸다는 것을 알고 15/2^10 을 지웠다.
  3. 甲은 두 구간의 경우의 수를 15 와 6 으로 적고 곱해 90 을 얻은 응시자다. 90 을 2^10 인 1024 로 나눠 약분한 45/512 가 45/2^9 이라는 것을 확인하고 이 보기를 골랐다.
  4. 甲은 분모를 2^10 으로 놓고 분자를 45 로 적은 학생이다. 분자 90 을 약분하면 분모도 절반이 되어 2^9 이 되는데 분모를 그대로 두면 답의 절반이 된다는 것을 알고 이 보기를 지웠다.

  처음 6 번 중 뒷면이 2 번 나오는 경우는 C(6,2)=15 가지, 나머지 4 번 중 앞면이 2 번 나오는 경우는 C(4,2)=6 가지이고 전체가 2^10 이라 90/2^10=45/2^9 이므로 3번이 옳다.

• 33

  다음 표는 단순선형회귀모형 y_i = β_0 + β_1 x_i + ε_i (i = 1,2, … ,26) 에 대한 분산분석표의 일부이다. 이 모형의 결정계수의 값은? (단, ε_i 는 N (0, σ^2) 을 따르고 서로 독립이다)

  요인제곱합자유도평균제곱F －값회귀5잔차120계25

  1. 1. {4 / 29}
  2. 2. {5 / 29}
  3. 3. {6 / 29}
  4. 4. {7 / 29}

  정답 2번

  🔍 보기별 해설

  1. 4/29 는 회귀제곱합이 20 일 때의 20/145 값인데 표에서 나온 회귀제곱합은 25 이므로 결정계수로 옳지 않다.
  2. 잔차 자유도 25−1=24 로 평균제곱오차 120/24=5 를 얻고 F=5 에서 회귀제곱합 5×5=25 를 구하면 결정계수 25/(25+120)=5/29 이므로 이 값이 옳다(정답).
  3. 6/29 는 회귀제곱합이 30 일 때의 30/145 값인데 표에서 나온 회귀제곱합은 25 이므로 결정계수로 옳지 않다.
  4. 7/29 는 회귀제곱합이 35 일 때의 35/145 값인데 표에서 나온 회귀제곱합은 25 이므로 결정계수로 옳지 않다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 4/29 가 나오려면 회귀제곱합이 얼마여야 하는지 분모 145 로 거꾸로 계산한 수험생이다. 20 이 되어야 하는데 표에서 구한 회귀제곱합은 25 라는 것을 확인하고 이 보기를 지웠다.
  2. 甲은 총자유도 25 에서 회귀 자유도 1 을 뺀 잔차 자유도 24 를 적은 학생이다. 120 을 24 로 나눠 평균제곱오차 5 를 얻고 F 값 5 와 곱해 회귀제곱합 25 를 구한 뒤 25/145 를 약분해 5/29 를 골랐다.
  3. 甲은 답 후보를 분모 145 로 통분해 20/145, 25/145, 30/145, 35/145 로 적어 둔 응시자다. 셋째 후보 30/145 는 표에서 나온 25 보다 5 큰 분자라 6/29 를 지웠다.
  4. 甲은 결정계수의 분자가 회귀제곱합이라는 점을 떠올린 학생이다. 마지막 후보는 분자가 35 여야 하는데 표에서 나온 25 보다 10 이 커 표와 맞지 않아 이 보기를 지웠다.

  F 값 5 와 잔차 평균제곱 120/(25−1)=5 에서 회귀제곱합은 25 이고 총제곱합이 25+120=145 라 결정계수는 25/145=5/29 이므로 2번이 옳다.

• 34

  두 확률변수 X 와 Y 가 이변량 정규분포를 따르고 상관계수가 ρ 일 때, 가설 H_0 : ρ = 0 대 H_1 : ρ > 0 을 검정하고자 한다. 표본의 크기가 n 이고 표본상관계수가 r 일 때, 위 가설을 검정하기 위한 검정통계량 T = √(n-2) r/(√(1-r^2)) 는 H_0 하에서 자유도가 (n-2) 인 t 분포를 따른다고 한다. n = 11 이고 r = 0.6 일 때, 유의수준 5% 에서 검정 방법에 대한 설명으로 옳은 것은? (단, t(α) (k) 는 자유도가 k 인 t 분포의 제 100 × (1-α) 백분위수를 나타낼 때, t(0.025) (9) = 2.26 , t(0.05) (9) = 1.83 이다)

  1. 1. T 의 값이 t(0.025) (9) 보다 커서 귀무가설을 기각한다.
  2. 2. T 의 값이 t(0.025) (9) 보다 작아서 귀무가설을 기각하지 못한다.
  3. 3. T 의 값이 t(0.05) (9) 보다 커서 귀무가설을 기각한다.
  4. 4. T 의 값이 t(0.05) (9) 보다 작아서 귀무가설을 기각하지 못한다.

  정답 3번

  🔍 보기별 해설

  1. T=2.25 는 t(0.025)(9)=2.26 보다 작으므로 T 가 더 커서 기각한다는 이 설명은 크기 비교부터 사실과 다르고 이 검정은 단측이라 기준도 t(0.05)(9) 이므로 옳지 않다.
  2. T=2.25 가 2.26 보다 작다는 비교 자체는 맞지만 대립가설이 ρ>0 인 단측검정이라 기준이 t(0.05)(9)=1.83 이고 T 가 그보다 커서 기각하므로 기각하지 못한다는 결론이 틀려 옳지 않다.
  3. T=√9×0.6/0.8=2.25 는 단측검정의 기각값 t(0.05)(9)=1.83 보다 커서 귀무가설을 기각하므로 이 설명이 옳다(정답).
  4. T=2.25 는 t(0.05)(9)=1.83 보다 작지 않고 크므로 T 가 이보다 작아서 기각하지 못한다는 이 설명은 크기의 방향이 어긋나 옳지 않다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 두 기각값 2.26 과 1.83 을 나란히 적어 두고 T 를 견준 학생이다. T 를 계산하니 2.25 로 2.26 에 0.01 못 미쳐 이 진술이 말하는 결과와 반대라는 것을 알고 첫째 보기를 지웠다.
  2. 甲은 2.25 가 2.26 보다 작으니 기각하지 못한다고 적은 수험생이다. 대립가설이 ρ>0 이라 유의수준 5 % 가 오른쪽 꼬리에 모두 놓여 기준이 1.83 이라는 것을 알고 둘째 보기를 지웠다.
  3. 甲은 대립가설의 방향부터 확인한 응시자다. ρ>0 이라 오른쪽 꼬리 5 % 만 보면 되므로 기준을 1.83 으로 잡고 2.25 를 견주니 넘어서서 귀무가설을 기각한다는 결론이 나와 이 보기를 답으로 골랐다.
  4. 甲은 T 와 기각값의 대소를 거꾸로 적은 학생이다. 2.25 가 1.83 보다 크다는 것을 수직선 위에 두 점을 찍어 확인하고, 작다고 쓴 마지막 보기의 결론이 반대라는 것을 알아 지웠다.

  검정통계량 T=√9×0.6/√(1−0.36)=2.25 이고 H₁ 이 ρ>0 인 단측검정이라 기각값은 t(0.05)(9)=1.83 이며 T 가 이보다 커서 귀무가설을 기각하므로 3번이 옳다.

• 35

  수준 수가 4 인 인자 A와 수준 수가 3 인 인자 B의 각 수준조합에서 3 회씩 반복 실험을 하였다. 다음 표는 인자 A와 B의 교호작용(interaction)이 유의하지 않아서 교호작용을 오차항에 포함한 후 작성한 분산분석표의 일부이다. 요인제곱합자유도평균제곱F －값인자 A54인자 B72오차계396 유의수준 5% 에서 검정할 때, 인자 A와 B의 유의성에 대한 설명으로 옳은 것은? (단, F_α (k_1 , k_2) 는 분자와 분모의 자유도가 각각 k_1 , k_2 인 F 분포의 제 100 × (1- α) 백분위수를 나타낼 때, F(0.05) (2, 30) = 3.32 , F(0.05) (3,30) = 2.92 이다)

  1. 1. 인자 A, B는 모두 유의하다.
  2. 2. 인자 A는 유의하고, 인자 B는 유의하지 않다.
  3. 3. 인자 A는 유의하지 않고, 인자 B는 유의하다.
  4. 4. 인자 A, B는 모두 유의하지 않다.

  정답 3번

  🔍 보기별 해설

  1. A 의 F 값이 2.0 으로 임계값 2.92 보다 작아 유의하지 않으므로 A, B 가 모두 유의하다는 이 설명은 옳지 않다.
  2. A 는 F=2.0 으로 임계값 2.92 보다 작아 유의하지 않고 B 는 F=4.0 으로 임계값 3.32 보다 커서 유의하므로 A 가 유의하고 B 는 유의하지 않다는 이 설명은 옳지 않다.
  3. 오차제곱합 396−54−72=270 을 자유도 30 으로 나눈 오차 평균제곱 9 에 대해 A 의 F=18/9=2.03.32 라 유의하므로 이 설명이 옳다(정답).
  4. B 는 F=4.0 으로 임계값 3.32 보다 커서 유의하므로 A, B 가 모두 유의하지 않다는 이 설명은 옳지 않다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 두 인자의 자유도가 3 과 2 이고 관측이 모두 36 개라는 것을 적어 두고 오차 자유도를 30 으로 구한 학생이다. 인자 A 의 F 값이 임계값에 못 미쳐 둘 다 유의하다는 첫째 보기를 지웠다.
  2. 甲은 A 가 유의하고 B 가 유의하지 않다는 결론을 두 F 값을 서로 바꿔 놓고 읽은 수험생이다. A 는 2.0 이고 B 는 4.0 이라 방향이 반대라는 것을 표로 다시 적어 둘째 보기를 지웠다.
  3. 甲은 오차제곱합 270 을 자유도 30 으로 나눠 9 를 얻고 A 는 18, B 는 36 을 각각 9 로 나눈 응시자다. 2.0 은 2.92 보다 작고 4.0 은 3.32 보다 크다는 것을 견주어 이 보기를 골랐다.
  4. 甲은 B 의 F 값 4.0 이 임계값 3.32 를 넘는다는 것을 확인한 학생이다. 3.32 는 분자 자유도 2, 분모 자유도 30 인 표에서 읽은 값이며 B 가 유의하므로 둘 다 유의하지 않다고 한 마지막 보기를 지웠다.

  오차제곱합은 396−54−72=270 이고 오차자유도는 35−5=30 이라 오차 평균제곱이 9 이고 F_A=18/9=2.0 은 2.92 보다 작고 F_B=36/9=4.0 은 3.32 보다 커서 A 는 유의하지 않고 B 는 유의하며 3번이 옳다.

• 36

  다음은 평균은 같고 분산이 서로 다른 정규분포의 누적분포함수 F (x) (- ∞ < x < ∞) 의 그림이다. 분산이 가장 큰 것은?

  1. 1.
  2. 2.
  3. 3.
  4. 4.

  정답 4번

  🔍 보기별 해설

  1. 이 그림은 평균 0 근처에서 가장 가파르게 올라가 값이 좁은 범위에 몰려 있다는 뜻이라 분산이 가장 작은 쪽이므로 분산이 가장 큰 것에 해당하지 않는다.
  2. 이 그림은 네 그림 가운데 가장 완만한 그림이 아니어서 곡선이 더 가파르게 올라 분산이 가장 크다고 볼 수 없으므로 이 그림은 분산이 가장 큰 것에 해당하지 않는다.
  3. 이 그림도 가장 완만한 그림이 아니어서 곡선이 더 가파르게 올라 분산이 가장 크다고 볼 수 없으므로 이 그림은 분산이 가장 큰 것에 해당하지 않는다.
  4. 이 그림은 네 그림 가운데 가장 완만하게 올라가 값이 넓은 범위에 퍼져 있다는 뜻이라 분산이 가장 크므로 이 그림이 해당한다(정답).

  🧮 풀이

  1. 甲은 네 누적분포 그림에서 평균 0 을 지날 때의 기울기를 자로 대어 본 학생이다. 첫째 그림의 기울기가 가장 커서 값이 좁은 범위에 몰려 있다는 것을 알고 분산이 가장 작다고 판정해 이 보기를 지웠다.
  2. 甲은 둘째 그림의 곡선이 첫째보다 완만한지 살핀 학생이다. 그러나 넷째 그림이 네 그림 가운데 가장 완만하다는 것을 확인하고 분산이 가장 큰 것은 넷째라고 보아 둘째 보기를 지웠다.
  3. 甲은 셋째 그림에서 곡선이 0 에서 1 로 올라가는 구간의 폭을 잰 응시자다. 넷째 그림의 폭이 더 넓어 분산이 가장 큰 것이 아니라는 것을 알고 셋째 보기를 지웠다.
  4. 甲은 네 그림에서 0 에서 1 까지 올라가는 데 걸리는 가로 폭을 재어 본 학생이다. 넷째 그림이 가장 넓은 폭에 걸쳐 올라가 분산이 가장 크다는 것을 확인하고 이 보기를 골랐다.

  평균이 같은 정규분포에서 분산이 클수록 누적분포함수가 완만하게 올라가므로 가장 완만한 4번 그림이 분산이 가장 큰 것이다.

• 37

  자료 (x_i, y_i) (i = 1,2, … ,10) 로부터 다음 결과를 얻었을 때, 이 자료를 최소제곱법으로 적합한 단순선형회귀식은?

  x̄ = 2 , ȳ = 3 , r = 1/3 , Σ(i = 1~10) (x_i - x̄)^2 = 1 , Σ(i = 1~10) (y_i - ȳ)^2 = 36 (단, r 는 x 와 y 의 표본상관계수이다)

  1. 1. ŷ = -1 + 2x
  2. 2. ŷ = -2 + x
  3. 3. ŷ = -4 + 2x
  4. 4. ŷ = -4 + x

  정답 1번

  🔍 보기별 해설

  1. 기울기 r√(Syy/Sxx)=(1/3)√(36/1)=2 와 절편 ȳ−기울기×x̄=3−2×2=−1 을 넣으면 ŷ=−1+2x 가 되므로 이 회귀식이 옳다(정답).
  2. ŷ=−2+x 는 기울기가 1 이라 계산한 2 와 다르고 x̄=2 를 넣으면 값이 0 이 되어 ȳ=3 을 지나지 않으므로 옳지 않다.
  3. ŷ=−4+2x 는 기울기 2 는 같지만 x̄=2 를 넣으면 값이 0 이 되어 ȳ=3 을 지나지 않고 절편은 −1 이어야 하므로 옳지 않다.
  4. ŷ=−4+x 는 기울기가 1 이라 계산한 2 와 다르고 x̄=2 를 넣으면 값이 −2 가 되어 ȳ=3 을 지나지 않으므로 옳지 않다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 기울기를 상관계수 1/3 에 Syy 와 Sxx 의 비의 제곱근 6 을 곱해 2 로 구한 학생이다. 절편을 3−2×2=−1 로 구해 ŷ=−1+2x 를 얻고 이 보기를 골랐다.
  2. 甲은 ŷ=−2+x 가 회귀직선이라면 표본 평균점 (2,3) 을 지나야 한다고 보고 대입해 본 수험생이다. x=2 일 때 값이 0 이라 3 과 맞지 않고 기울기도 2 가 아니어서 둘째 보기를 지웠다.
  3. 甲은 기울기 2 까지는 맞게 구하고 절편을 −4 로 적은 응시자다. 평균점 (2,3) 을 식에 넣으니 −4+2×2=0 이라 3 과 맞지 않아 셋째 보기를 지웠다.
  4. 甲은 후보 식들을 모두 x=2 에서의 값으로 걸러 본 수험생이다. 마지막 식은 기울기가 1 이라 2 에 못 미치고 x̄=2 에서 값이 −2 라 ȳ=3 에 5 만큼 모자라 네 번째 보기를 지웠다.

  기울기는 r√(Syy/Sxx)=(1/3)√36=2 이고 절편은 3−2×2=−1 이므로 회귀식 ŷ=−1+2x 이며 1번이 옳다.

• 38

  어느 사과 농장에서 수확한 사과의 평균 무게 μ 에 대한 가설 H_0 : μ = 350 대 H_1 : μ ! = 350 을 검정하려고 한다. 이 농장에서 수확한 사과 49 개를 임의추출하여 구한 μ 에 대한 95% 신뢰구간이 (349, 361) 일 때, 이에 대한 설명으로 옳지 않은 것은?

  1. 1. 유의수준 5% 에서 검정할 때 H_0 을 기각할 수 없다.
  2. 2. 유의수준 2% 에서 검정할 때 H_0 을 기각할 수 없다.
  3. 3. 위 가설에 대한 유의확률은 0.01 보다 크다.
  4. 4. 위 가설에 대한 유의확률은 0.03 보다 작다.

  정답 4번

  🔍 보기별 해설

  1. 95 % 신뢰구간 (349,361) 이 350 을 포함하므로 유의수준 5 % 에서 귀무가설 μ=350 을 기각할 수 없다는 이 설명은 옳다.
  2. 유의수준이 작을수록 신뢰구간이 더 넓어져 350 을 계속 포함하므로 유의수준 2 % 에서도 귀무가설을 기각할 수 없다는 이 설명은 옳다.
  3. 검정통계량 약 1.63 에서 양쪽 유의확률이 약 0.10 이라 0.01 보다 크므로 유의확률이 0.01 보다 크다는 이 설명은 옳다.
  4. 유의확률이 약 0.10 이라 0.03 보다 작지 않은데 0.03 보다 작다고 쓴 이 설명은 옳지 않다(정답).

  🧮 풀이

  1. 甲은 신뢰구간에 350 이 들어 있는지부터 살핀 학생이다. 349 와 361 사이에 350 이 있어 유의수준 5 % 에서 귀무가설을 기각하지 못한다는 것을 알고 이 진술을 옳은 것으로 분류했다.
  2. 甲은 신뢰수준 98 % 구간을 상상해 본 수험생이다. 확신의 정도를 높이면 구간 양 끝이 바깥으로 밀려 349 와 361 을 감싸 그대로 350 을 품게 되므로 2 % 에서도 기각하지 못한다고 판단하고 옳은 진술로 표시했다.
  3. 甲은 구간 폭에서 표준오차를 거꾸로 뽑아 본 응시자다. 표본평균이 355 이므로 350 과의 거리 5 를 표준오차 약 3.06 으로 나누면 z 가 약 1.63 이 되어 유의확률이 0.01 을 웃돈다는 것을 확인했다.
  4. 甲은 유의확률이 0.03 보다 작다는 진술을 검정통계량 1.63 과 견준 학생이다. 양쪽 유의확률이 약 0.10 으로 0.03 보다 훨씬 크다는 것을 알고 이 진술을 옳지 않은 것으로 골랐다.

  표준오차 약 3.06 에서 검정통계량이 약 1.63 이라 유의확률은 약 0.10 으로 0.03 보다 작지 않으므로 유의확률이 0.03 보다 작다는 4번이 옳지 않다.

• 39

  알코올 중독자와 비중독자 간에 질병 A의 유병률이 차이가 있는지 알아보기 위해 어느 지역의 알코올 중독자와 비중독자 중에서 각각 76 명과 109 명을 임의추출하여 질병 A의 유무에 대한 다음과 같은 분할표를 얻었다. 중독 여부 질병 A의 유무중독자비중독자계있음532881없음2381104계76109185 분석 목적과 표집 과정을 고려할 때, 이 지역에 대한 설명으로 옳은 것은?

  1. 1. 알코올 중독자의 비율은 76/185 으로 추정된다.
  2. 2. 질병 A의 유병률은 81/185 로 추정된다.
  3. 3. 알코올 중독자 중에서 질병 A의 유병률은 53/76 으로 추정된다.
  4. 4. 질병 A의 유병자 중에서 알코올 중독자의 비율은 53/81 으로 추정된다.

  정답 3번

  🔍 보기별 해설

  1. 표본에서 중독자가 76 명인 것은 중독자와 비중독자를 각각 따로 정해진 수만큼 뽑은 결과이므로 76/185 는 지역 전체의 중독자 비율의 추정값이 아니어서 옳지 않다.
  2. 질병 A 유병자 81 명은 중독자 76 명과 비중독자 109 명을 정해진 수로 뽑은 표본에서 센 값이라 81/185 가 지역 전체의 유병률을 나타내지 않으므로 옳지 않다.
  3. 중독자 76 명 안에서 질병 A 가 있는 사람이 53 명이라 각 집단을 따로 뽑은 표본에서도 중독자 집단의 유병률은 53/76 으로 추정할 수 있으므로 이 설명이 옳다(정답).
  4. 유병자 81 명 가운데 중독자가 53 명이라는 비 53/81 은 집단별로 뽑은 수에 좌우되는 값이라 지역 전체의 유병자 가운데 중독자 비율을 추정한 것이 아니므로 옳지 않다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 전체 185 명 가운데 76 명이 중독자이니 중독자 비율이 76/185 라고 읽은 학생이다. 76 과 109 는 연구자가 각각 정해서 뽑은 수라 전체 비율을 뜻하지 않는다는 것을 알고 이 보기를 지웠다.
  2. 甲은 표의 아래 합계 81 을 전체 185 로 나눈 값을 지역의 유병률이라고 적은 수험생이다. 두 집단을 다른 크기로 뽑았기 때문에 이 값은 모집단 유병률과 같지 않다는 것을 알고 이 보기를 지웠다.
  3. 甲은 표집 과정이 집단별 추출이라는 점을 짚은 응시자다. 중독자 76 명 중 53 명이 질병 A 가 있어 이 집단 안의 비율은 추정할 수 있다는 것을 알고 이 보기를 골랐다.
  4. 甲은 질병 A 가 있는 81 명 가운데 중독자가 53 명이므로 그 비율이 53/81 이라고 적은 학생이다. 뽑는 집단의 크기를 연구자가 정했기 때문에 이 비율은 지역 전체와 무관하다는 것을 알고 이 보기를 지웠다.

  중독자 76 명과 비중독자 109 명을 각각 따로 추출했으므로 표본의 중독자 비율은 설계로 정해진 값이고 각 집단 안의 유병률 53/76 만 추정할 수 있어 3번이 옳다.

• 40

  어느 지역 남성의 흡연율 p 를 추정하기 위해 이 지역 남성 n 명을 임의추출하여 구한 흡연자의 표본비율을 p̂ 라고 하자. 정규근사를 이용할 때, 모든 p 에 대하여 부등식 P (| p̂ -p | ≤ 0.098) ≥ 0.95 를 만족하기 위한 n 의 최솟값은? (단, 표준정규분포를 따르는 확률변수 Z 에 대하여 P (Z ≥ 1.96) = 0.025 이다)

  1. 1. 64
  2. 2. 100
  3. 3. 400
  4. 4. 625

  정답 2번

  🔍 보기별 해설

  1. n=64 이면 오차 한계 1.96×0.5/8=0.1225 로 0.098 보다 커서 조건을 만족하지 못하므로 최솟값이 될 수 없고 옳지 않다.
  2. n=100 이면 오차 한계가 1.96×0.5/10=0.098 로 정확히 0.098 과 같아 조건을 만족하고 이보다 작은 n 은 만족하지 못하므로 최솟값이 100 이며 이 값이 옳다(정답).
  3. n=400 이면 오차 한계가 0.049 로 조건을 만족하지만 n=100 에서도 이미 만족하므로 최솟값이 아니라 옳지 않다.
  4. n=625 이면 오차 한계가 0.0392 로 조건을 만족하지만 n=100 에서 이미 만족하므로 최솟값이 아니라 옳지 않다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 n=64 를 뒤에서부터 넣어 본 학생이다. √64=8 이라 표준오차 0.5/8=0.0625 에 1.96 을 곱하면 0.1225 가 나와 목표 0.098 을 넘으므로 첫째 보기를 지웠다.
  2. 甲은 모든 p 에 대해 성립해야 하니 분산이 가장 큰 p=0.5 를 넣어야 한다는 것을 적은 응시자다. 1.96×0.5/√n 이 0.098 이 되는 n 이 100 이라 이 보기를 골랐다.
  3. 甲은 표본크기 400 을 넣어 오차 한계가 0.049 라 조건을 만족하는 것을 확인한 학생이다. 하지만 더 작은 100 에서 이미 조건이 만족되어 최솟값이 아니라는 것을 알고 이 보기를 지웠다.
  4. 甲은 625 가 25 의 제곱이라 깔끔한 값이라는 점에 끌린 응시자다. 25 로 나눈 오차 한계는 0.0392 로 조건을 만족하지만 그보다 작은 100 에서도 조건이 성립해 최솟값이 될 수 없어 마지막 보기를 지웠다.

  P(|p̂−p|≤0.098)≥0.95 가 모든 p 에서 성립하려면 p(1−p)≤1/4 이므로 1.96×0.5/√n≤0.098 이고 n≥100 이라 최솟값은 100 이며 2번이 옳다.

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• 41

  다음은 대통령 선거 출구 조사 방법에 대한 설명이다. 이에 해당하는 표본 추출 기법은?

  모든 투표자를 대상으로 조사하는 것이 아니라, 투표자들이 나오는 것을 조사원이 출구 근처에서 보다가 일정 간격으로 투표자를 추출해 조사합니다. ​간격이 너무 넓은 경우에는 조사원의 집중력 저하로 조사해야 할 투표자를 놓칠 가능성이 큽니다. 반대로 간격이 좁으면 조사원이 너무 바빠 응답자를 정확하게 선정하지 못할 수 있습니다. 16대 대선의 경우는 간격이 6이었고, 19대 대선은 5로 정해 조사했습니다.

  1. 1. 단순임의추출법(simple random sampling)
  2. 2. 계통추출법(systematic sampling)
  3. 3. 층화임의추출법(stratified random sampling)
  4. 4. 집락추출법(cluster sampling)

  정답 2번

  🔍 보기별 해설

  1. 모든 투표자에게 같은 뽑힐 확률을 주어 무작위로 뽑는 방법인데 지문은 일정 간격마다 뽑는다고 했으므로 단순임의추출에 해당하지 않는다.
  2. 투표자가 나오는 순서대로 세어 정해진 간격(16대는 6, 19대는 5)마다 한 명씩 뽑는 것은 계통추출의 절차와 같으므로 이 방법이 해당한다(정답).
  3. 층화임의추출은 모집단을 성별·연령처럼 성질이 같은 층으로 먼저 나눈 뒤 층마다 뽑는 방법인데 지문에는 층을 나누는 단계가 없어 해당하지 않는다.
  4. 집락추출은 모집단을 여러 집락으로 나눠 집락 몇 개를 통째로 조사하는 방법인데 지문은 개별 투표자를 간격에 따라 뽑고 있어 해당하지 않는다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 투표자 이름표를 모자에 넣고 흔들어 한 명씩 뽑는 것만이 표본추출이라고 믿은 학생이다. 지문이 간격을 정해 두고 그 간격마다 뽑는다고 밝혔는데 이 방식은 뽑을 사람이 정해진 순서에서 나오므로 단순임의추출과 다르다고 고쳐 적었다.
  2. 甲은 출구를 나오는 투표자를 줄 세운 뒤 5번째마다 설문지를 건네는 조사원을 떠올린 수험생이다. 처음 한 명을 정하고 같은 간격으로 이어 뽑는 이 방식이 계통추출과 같다는 점을 확인하고 이 기법을 답으로 골랐다.
  3. 甲은 남성과 여성 투표자를 따로 세어 각각 뽑는 그림을 그려 본 응시자다. 지문에는 투표자를 성질별로 미리 나누는 말이 없으므로 층화가 아니라고 판단했고 간격 이야기가 층 이야기와 다르다는 점을 표에 적었다.
  4. 甲은 투표소 한 곳을 통째로 골라 그곳 투표자를 모두 조사하는 방식을 집락추출로 정리해 둔 학생이다. 지문은 한 투표소 안에서 개별 투표자를 간격마다 뽑는 이야기라 집락을 통째로 고르는 방식과 다르다는 것을 보고 이 보기를 지웠다.

  출구 근처에서 일정 간격(5번째, 6번째)으로 투표자를 뽑는 방식은 모집단 목록에서 처음 하나를 정한 뒤 같은 간격으로 뽑는 계통추출이므로 2번이 해당한다.

• 42

  세 사건 A , B , C 가 서로 독립이고 P (A) = 1/4 , P (B) = 3P (C) , P (A ∩ B^c ∩ C) = 1/48 일 때, P (B ∩ C^c) 는?

  1. 1. {1 / 12}
  2. 2. {5 / 12}
  3. 3. {7 / 12}
  4. 4. {11 / 12}

  정답 2번

  🔍 보기별 해설

  1. 1/12은 P(B)P(C)=(1/2)(1/6), 곧 B와 C가 동시에 일어날 확률의 값이어서 C가 일어나지 않는 경우를 묻는 P(B∩Cᶜ)와 다르므로 옳지 않다.
  2. 독립이므로 (1/4)(1−3c)c=1/48을 풀면 c=1/6이고 P(B)=1/2, P(Cᶜ)=5/6이라 P(B∩Cᶜ)=5/12가 되어 이 값이 옳다(정답).
  3. 7/12은 P(B∪C)=1/2+1/6−1/12와 같은 값이라 B와 C 가운데 하나 이상이 일어날 확률을 구한 셈이고 B는 일어나고 C는 일어나지 않을 확률과 달라 옳지 않다.
  4. 11/12은 1−P(B∩C)=P(Bᶜ∪Cᶜ)의 값이라 B와 C가 동시에 일어나지 않을 확률이고 P(B∩Cᶜ)와 다르므로 옳지 않다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 독립이면 확률을 곱하면 된다는 것만 기억하고 P(B)와 P(C) 사이의 관계를 식에 넣지 못한 학생이다. 1/12이 P(B)P(C)의 값이라는 점을 확인하고 이것이 B와 C가 둘 다 일어날 확률이지 구하는 값이 아님을 옆에 적었다.
  2. 甲은 미지수를 하나만 두고 세 사건의 확률을 모두 그 문자로 나타내 푼 수험생이다. 정리하면 이차식이 완전제곱이 되어 근이 하나로 정해지고, 거기서 얻은 B와 C의 확률로 문제가 요구한 확률을 마지막에 곱해 이 보기를 답으로 골랐다.
  3. 甲은 두 사건 가운데 하나라도 일어나는 확률을 더해서 구한 응시자다. 1/2+1/6−1/12=7/12이 합집합의 확률임을 알고 문제가 묻는 것은 B만 일어나는 경우라는 점을 짚어 이 보기를 지웠다.
  4. 甲은 여사건을 써서 답을 만들려다 값을 잘못 골랐다. 1−1/12=11/12은 B와 C가 동시에 일어나지 않을 확률이라는 점을 확인하고 B∩Cᶜ와 다른 사건이라는 것을 벤 다이어그램으로 그려 보았다.

  P(A)=1/4, P(B)=3c, P(C)=c로 두고 독립이므로 (1/4)(1−3c)c=1/48에서 c=1/6, P(B)=1/2이며 P(B∩Cᶜ)=(1/2)(5/6)=5/12이므로 2번이 옳다.

• 43

  확률변수 X , Y 에 대하여 E [X (Y + 1)] = 9 , E [Y (X + 1)] = 10 , E (X + Y) = 7 일 때, 공분산 Cov(X ,Y) 의 값은?

  1. 1. －6
  2. 2. －5
  3. 3. 5
  4. 4. 6

  정답 1번

  🔍 보기별 해설

  1. 두 식을 빼면 E[Y]−E[X]=1이고 합이 7이므로 E[X]=3, E[Y]=4, E[XY]=6이 되어 Cov(X,Y)=E[XY]−E[X]E[Y]=6−12=−6이므로 이 값이 옳다(정답).
  2. −5는 이 세 식에서 나오는 값이 아니다. 세 식으로 정해지는 E[X]=3, E[Y]=4, E[XY]=6을 공분산 식에 넣으면 −6뿐이라 옳지 않다.
  3. 5는 이 세 식에서 나오는 값이 아니다. 공분산은 E[XY]에서 기댓값의 곱 12를 빼야 하는데 6에서 12를 빼면 −6이 되므로 옳지 않다.
  4. 6은 E[XY] 자체의 값이라서 기댓값의 곱 E[X]E[Y]=12를 빼는 단계를 빠뜨려 얻은 값이므로 공분산으로 옳지 않다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 E[X(Y+1)]을 E[XY]+E[X]로 풀어 쓰는 것을 익힌 학생이다. 두 식과 E[X+Y]=7을 연립해 E[X]=3, E[Y]=4, E[XY]=6을 얻고 공분산 −6을 계산했으며 표의 −6과 같은지 대조해 이 보기를 골랐다.
  2. 甲은 답 −5가 어떤 계산에서 나오는지 거꾸로 짚어 본 수험생이다. 주어진 세 식에서 E[X]=3, E[Y]=4, E[XY]=6이 하나로 정해지므로 −5가 나올 여지가 없다는 것을 확인하고 이 보기를 지웠다.
  3. 甲은 부호가 양수인 5를 골랐다가 다시 계산해 본 응시자다. E[XY]=6에서 E[X]E[Y]=12를 빼면 −6인데 5는 어느 단계에서도 나오지 않는 값임을 알고 계산 과정을 공책에 새로 적었다.
  4. 甲은 E[XY]=6을 찾고 바로 멈춘 학생이다. 공분산은 E[XY]에서 두 기댓값의 곱 12를 빼야 한다는 정의를 다시 읽고 6이 아니라 6−12=−6이라는 점을 고쳐 적었다.

  E[XY]+E[X]=9, E[XY]+E[Y]=10, E[X]+E[Y]=7에서 E[Y]−E[X]=1이므로 E[X]=3, E[Y]=4, E[XY]=6이고 Cov(X,Y)=6−12=−6이어서 1번이 옳다.

• 44

  ‘두 확률변수 X , Y 의 상관계수가 0 ’, 즉 ‘ Corr(X ,Y) = 0 ’과 동치가 아닌 것은?

  1. 1. Var(X + Y) = Var(X -Y)
  2. 2. E (XY) = E (X)E (Y)
  3. 3. Cov(-2X + 3, 3Y -2) = 0
  4. 4. Cov(X + Y , X-Y) = 0

  정답 4번

  🔍 보기별 해설

  1. Var(X+Y)−Var(X−Y)=4Cov(X,Y)이므로 두 분산이 같다는 것은 공분산이 0이라는 것과 같아 상관계수가 0인 것과 동치인 조건에 해당하지 않는다.
  2. Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)이므로 E(XY)=E(X)E(Y)는 공분산이 0이라는 식의 다른 모양이라 동치인 조건에 해당하지 않는다.
  3. Cov(−2X+3,3Y−2)=−6Cov(X,Y)이므로 이것이 0이면 Cov(X,Y)=0이어서 동치인 조건이므로 동치가 아닌 것에 해당하지 않는다.
  4. Cov(X+Y,X−Y)=Var(X)−Var(Y)라 이것이 0이라는 것은 두 분산이 같다는 뜻일 뿐 X와 Y의 공분산이 0이라는 뜻이 아니므로 동치가 아닌 것에 해당한다(정답).

  🧮 풀이

  1. 甲은 두 분산의 차와 합을 모두 전개해 본 학생이다. Var(X+Y)−Var(X−Y)가 4Cov(X,Y)로 남는 것을 확인하고 이 조건이 상관계수 0과 같은 뜻이므로 동치가 아닌 것을 찾는 이 문제의 답이 아님을 적었다.
  2. 甲은 공분산을 곱의 기댓값에서 기댓값의 곱을 뺀 것으로 외워 둔 수험생이다. 좌변이 0이면 두 항이 같아진다는 것을 그대로 옮겨 적어 보니 이 조건이 무상관과 같은 말이라는 것이 드러나 동치가 아닌 것을 찾는 답에서 뺐다.
  3. 甲은 상수를 더하고 곱한 변수의 공분산을 풀어 본 응시자다. 상수 3과 −2는 공분산에 영향이 없고 계수 −2와 3이 곱해져 −6Cov(X,Y)가 된다는 것을 확인해 동치인 조건으로 분류했다.
  4. 甲은 X+Y와 X−Y의 공분산이 0이면 X와 Y도 무상관이라고 생각한 학생이다. 전개하면 Var(X)−Var(Y)만 남고 두 분산이 같아도 공분산은 0이 아닐 수 있다는 점을 표로 확인해 동치가 아님을 알았다.

  공분산이 0이면 상관계수가 0이다. Cov(X+Y,X−Y)=Var(X)−Var(Y)=0은 두 분산이 같다는 조건이라 Cov(X,Y)=0과 같은 뜻이 아니므로 4번이 동치가 아닌 것이다.

• 45

  두 연속확률변수 X , Y 의 상관계수에 대한 설명으로 옳지 않은 것은?

  1. 1. 상관계수가 0이면 X , Y 는 독립이다.
  2. 2. 상관계수는 측정단위의 영향을 받지 않는다.
  3. 3. 상관계수가 －0.7인 경우가 ＋0.5인 경우보다 선형관계가 강하다.
  4. 4. X , Y 의 표본상관계수가 0.5일 때, 동일 자료에서 3X 와 5Y 의 표본상관계수도 0.5이다.

  정답 1번

  🔍 보기별 해설

  1. 상관계수가 0이라도 X와 Y가 독립이라고 할 수는 없다. 상관계수는 선형관계만 재므로 Y=X² 같은 비선형 종속도 상관계수가 0일 수 있어 이 설명은 옳지 않다(정답).
  2. 상관계수는 공분산을 두 표준편차의 곱으로 나눈 값이라 단위가 서로 나눠져 없어지므로 측정단위의 영향을 받지 않는다는 이 설명은 옳다.
  3. 선형관계의 강도는 상관계수의 절댓값으로 견주므로 |−0.7|=0.7이 |0.5|보다 커서 −0.7인 경우가 더 강하다는 이 설명은 옳다.
  4. 3X와 5Y처럼 양의 상수를 곱해도 공분산과 표준편차가 같은 배수로 변해 서로 약분되므로 표본상관계수는 그대로 0.5가 유지되어 이 설명은 옳다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 상관계수가 0이면 두 변수가 아무 관계도 없다고 여긴 학생이다. X가 표준정규일 때 Y=X²은 X를 알면 Y가 정해지는 종속 관계인데도 상관계수가 0이라는 점을 확인하고 독립이라는 문장에 가위표를 쳤다.
  2. 甲은 키를 센티미터에서 미터로 바꿔 상관계수를 다시 계산해 본 수험생이다. 값이 그대로여서 상관계수가 단위와 무관하다는 것을 확인하고 이 설명을 옳은 것으로 분류했다.
  3. 甲은 음수 상관계수는 약하다고 잘못 알고 있던 응시자다. 선형관계의 강도는 절댓값으로 재므로 −0.7이 0.5보다 강하다는 점을 고쳐 적고 이 설명을 옳은 것으로 표시했다.
  4. 甲은 표본상관계수 0.5인 자료의 X를 3배, Y를 5배로 늘려 다시 재 본 학생이다. 양의 상수배로는 상관계수가 변하지 않아 0.5 그대로라는 점을 확인하고 이 설명을 옳다고 적었다.

  상관계수 0은 선형관계가 없다는 뜻일 뿐 독립을 뜻하지 않는다(예: X가 표준정규이고 Y=X²이면 상관계수는 0이지만 독립이 아니다). 따라서 독립이라고 한 1번이 옳지 않다.

• 46

  정규분포 N (μ , σ^2) 에서 표준편차 (σ) 를 이용하여 사분위수범위를 나타낸 것으로 옳은 것은? (단, z_α 는 표준정규분포의 제 100 × (1- α) 백분위수이다)

  1. 1. z_0.025 × σ
  2. 2. z_0.25 × σ
  3. 3. 2 × z_0.025 × σ
  4. 4. 2 × z_0.25 × σ

  정답 4번

  🔍 보기별 해설

  1. z_{0.025}σ=1.96σ는 상위 2.5 % 점까지의 거리라 사분위수범위(약 1.349σ)와 다르고, 25 %가 아니라 2.5 %를 쓴 점이 어긋나므로 옳지 않다.
  2. z_{0.25}σ≈0.6745σ는 평균에서 제3사분위수까지의 거리, 곧 사분위수범위의 절반이라 전체 폭을 나타내려면 2를 곱해야 하므로 옳지 않다.
  3. 2z_{0.025}σ=3.92σ는 평균 ±1.96σ 구간의 폭이며 이 구간은 가운데 95 %를 담아 사분위수범위(가운데 50 %)와 다르므로 옳지 않다.
  4. 제1·제3사분위수는 평균에서 좌우로 z_{0.25}σ만큼 떨어져 있어 두 값의 차인 사분위수범위는 2z_{0.25}σ≈1.349σ이므로 이 식이 옳다(정답).

  🧮 풀이

  1. 甲은 z값 표에서 0.025를 찾아 곱한 학생이다. 그 값 1.96이 양쪽 꼬리 2.5 %를 남기는 점이라 사분위수와 상관없고 25 %에 대응하는 z_{0.25}를 써야 한다는 점을 표에서 다시 찾아 고쳤다.
  2. 甲은 평균에서 제3사분위수까지의 거리를 사분위수범위로 착각한 수험생이다. 사분위수범위는 제3사분위수에서 제1사분위수를 뺀 값이라 좌우 두 거리를 더한 2z_{0.25}σ가 된다는 것을 확인하고 이 보기를 지웠다.
  3. 甲은 정규분포에서 자주 쓰는 ±1.96σ를 그대로 가져온 응시자다. 그 구간은 전체의 95 %를 담는 신뢰구간의 폭이고 사분위수범위는 가운데 50 %의 폭이라는 점을 그림으로 그려 서로 다르다고 적었다.
  4. 甲은 표준정규분포에서 제3사분위수가 약 0.6745임을 알고 있는 학생이다. 제1사분위수는 대칭이라 −0.6745이고 두 값의 차가 약 1.349라는 점을 계산해 2z_{0.25}σ를 고르고 이 식을 답으로 적었다.

  정규분포에서 제1사분위수는 μ−z_{0.25}σ, 제3사분위수는 μ+z_{0.25}σ이므로 사분위수범위는 2z_{0.25}σ(≈1.349σ)이며 4번이 옳다.

• 47

  미지의 모평균이 μ 이고 모분산이 σ^2 인 모집단으로부터 확률표본 X_1 , X_2 , X_3 , X_4 를 추출하여 μ 에 대한 점추정량을 다음과 같이 정의하였다. 이 점추정량 중에서 μ 에 대한 불편추정량이면서 그중 최소분산을 갖는 것은? (단, σ^2 > 0 이다)

  [eq]○ μ̂_1 = {1 / 5} (X_1 + X_2 + 2X_3 + X_4)

  ○ μ̂_2 = {1 / 4} (X_1 + X_2 + 2X_3 + X_4)

  ○ μ̂_3 = {1 / 5} (2X_1 + X_2 + X_3 + 2X_4)

  ○ μ̂_4 = {1 / 4} (2X_1 + X_2 + X_3)[/eq]

  1. 1. μ̂_1
  2. 2. μ̂_2
  3. 3. μ̂_3
  4. 4. μ̂_4

  정답 1번

  🔍 보기별 해설

  1. 계수의 합이 (1+1+2+1)/5=1이라 불편이고 분산이 7/25σ²=0.28σ²로 불편인 μ̂₄의 0.375σ²보다 작아 불편추정량 가운데 최소분산이므로 이 추정량이 옳다(정답).
  2. 계수의 합이 (1+1+2+1)/4=5/4라 기댓값이 5μ/4로 μ와 달라 불편추정량이 아니므로 분산을 견줄 것도 없이 옳지 않다.
  3. 계수의 합이 (2+1+1+2)/5=6/5라 기댓값이 6μ/5로 μ와 달라 불편추정량이 아니므로 분산을 견줄 필요 없이 옳지 않다.
  4. 계수의 합이 (2+1+1)/4=1이라 불편이지만 분산이 (4+1+1)/16σ²=0.375σ²로 μ̂₁의 0.28σ²보다 커 최소분산이 아니므로 옳지 않다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 불편추정량을 고를 때 분산부터 계산해 시간을 쓴 학생이다. 먼저 계수의 합이 1인지를 보니 μ̂₁과 μ̂₄만 남는다는 것을 알고 두 분산 0.28σ²와 0.375σ²를 견줘 μ̂₁을 골랐다.
  2. 甲은 계수를 모두 더한 값이 5/4임을 확인한 수험생이다. 기댓값이 5μ/4가 되어 μ와 다르므로 불편추정량이 아니라는 점을 적고 이 추정량을 후보에서 제외했다.
  3. 甲은 표본 평균 꼴이면 무조건 불편이라고 생각한 응시자다. 계수를 더하니 6/5이 되어 기댓값이 6μ/5임을 알고 계수의 합이 1이 아니면 편의가 생긴다는 점을 고쳐 적었다.
  4. 甲은 불편이라는 조건만 통과하면 답이라고 서둘러 정하려던 학생이다. 그러나 문제는 불편추정량 가운데 분산이 가장 작은 것을 묻고 있고, 이 추정량은 다른 후보보다 분산이 커서 마지막 비교에서 밀린다는 점을 알고 지웠다.

  불편추정량은 계수의 합이 1이어야 하므로 μ̂₁(합 1)과 μ̂₄(합 1)이 후보이고, 분산은 μ̂₁이 (1+1+4+1)/25σ²=0.28σ², μ̂₄가 (4+1+1)/16σ²=0.375σ²라 μ̂₁이 최소이므로 1번이 옳다.

• 48

  확률변수 X 의 확률분포가 다음과 같다. x －1 0 1 계 P (X = x) (가) (나) 0.25 1 다음 항목 중 옳은 것만을 모두 고르면?

  ㄱ. (가)＋(나) ＝ 3/4

  ㄴ. E (X) = 1/8 일 때, (나) ＝ 3/8

  ㄷ. E (X) = 1/12 일 때, 위 모집단에서 크기가 2인 확률표본을 추출한다면 표본평균 X̄ 의 분산은 Var(X̄) = 59/144 이다.

  1. 1. ㄱ
  2. 2. ㄴ
  3. 3. ㄱ, ㄷ
  4. 4. ㄴ, ㄷ

  정답 1번

  🔍 보기별 해설

  1. ㄱ은 확률의 합이 1이라 (가)+(나)=1−0.25=3/4로 옳고, ㄴ은 E(X)=1/8일 때 (나)=5/8이어서 3/8이 아니므로 틀리며 ㄷ도 틀렸으므로 ㄱ만 옳은 이 보기가 해당한다(정답).
  2. ㄴ은 E(X)=1/8에서 −(가)+0.25=1/8이므로 (가)=1/8이고 (나)=3/4−1/8=5/8이라 3/8이 아니어서 틀린 진술인데 ㄴ만 옳다고 한 이 보기는 해당하지 않는다.
  3. ㄱ은 옳지만 ㄷ은 E(X)=1/12일 때 Var(X)=59/144이고 표본평균의 분산은 이를 2로 나눈 59/288이라 59/144와 달라 틀리므로 ㄱ과 ㄷ을 함께 고른 이 보기는 해당하지 않는다.
  4. ㄴ과 ㄷ은 계산해 보면 둘 다 틀린 진술인데 이 보기는 두 진술만 옳다고 골랐고 옳은 ㄱ을 빼고 있어 해당하지 않는다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 확률의 합이 1이라는 것부터 확인한 학생이다. (가)+(나)+0.25=1에서 (가)+(나)=3/4임을 얻어 ㄱ이 옳다고 표시했고 ㄴ과 ㄷ을 따로 계산해 둘이 틀린 것을 확인하고 ㄱ만 고른 이 보기를 답으로 적었다.
  2. 甲은 기댓값 조건을 확률변수의 값 −1과 1에 대한 식으로 세워 미지의 확률 하나를 먼저 구한 수험생이다. 그 값을 (가)와 (나)의 합에 넣어 다른 하나를 구하니 ㄴ에 적힌 수와 어긋나 ㄴ을 옳다고 본 이 보기를 지웠다.
  3. 甲은 ㄷ에서 표본평균의 분산을 모집단 분산 그대로 59/144로 적은 응시자다. 크기 2인 표본평균의 분산은 59/144를 2로 나눈 59/288이라는 점을 확인하고 ㄷ을 틀린 진술로 분류해 이 보기를 지웠다.
  4. 甲은 진술 셋을 훑고 셋이 다 그럴듯해 아무렇게나 두 개를 고른 학생이다. 계산해 보니 ㄱ만 옳고 ㄴ과 ㄷ은 둘 다 틀렸다는 것을 알고 진술 하나하나를 따로 판정하지 않으면 조합을 고를 수 없음을 적었다.

  (가)+(나)=1−0.25=3/4이므로 ㄱ은 옳다. E(X)=1/8이면 (가)=1/8, (나)=5/8이라 ㄴ은 틀리고, E(X)=1/12이면 Var(X)=59/144이므로 Var(X̄)=59/288이라 ㄷ도 틀린다. 정답은 1번이다.

• 49

  독립변수 X 와 종속변수 Y 를 갖는, 절편이 있는 단순선형회귀모형에서 최소제곱법을 적용했을 때, 결정계수에 대한 설명으로 옳은 것은?

  1. 1. 결정계수가 0이면 모든 잔차가 0이다.
  2. 2. 결정계수가 큰 모형일수록 설명력이 낮은 모형이다.
  3. 3. 결정계수는 X , Y 의 표본상관계수를 이용하여 구할 수 있다.
  4. 4. 만약 새로운 독립변수를 모형에 추가한다면 결정계수는 감소한다.

  정답 3번

  🔍 보기별 해설

  1. 결정계수가 0이면 회귀직선이 설명하는 변동이 없다는 뜻이지 잔차가 모두 0이라는 뜻이 아니다. 잔차가 모두 0이면 결정계수는 오히려 1이 되므로 옳지 않다.
  2. 결정계수는 전체 변동 가운데 회귀가 설명하는 비율이라 클수록 설명력이 높으므로 클수록 설명력이 낮다는 서술은 옳지 않다.
  3. 단순선형회귀에서 결정계수 R²는 X와 Y의 표본상관계수 r의 제곱과 같아 상관계수를 알면 구할 수 있으므로 이 설명이 옳다(정답).
  4. 독립변수를 추가하면 잔차제곱합이 줄거나 같아 결정계수는 증가하거나 같을 뿐이고 감소하지 않으므로 감소한다는 서술은 옳지 않다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 결정계수가 0이면 모든 점이 직선 위에 있다고 잘못 읽은 학생이다. 모든 점이 직선 위에 있으면 잔차가 0이고 결정계수는 1이라는 점을 확인하고 이 설명을 옳지 않은 것으로 분류했다.
  2. 甲은 결정계수가 클수록 오차가 크다고 기억하고 있던 수험생이다. 결정계수가 총변동 가운데 회귀로 설명되는 변동의 비율이라는 정의를 교재에서 다시 읽고 클수록 설명력이 높다는 방향으로 고쳐 적었다.
  3. 甲은 상관계수 r=0.6인 자료에서 결정계수를 구해 본 응시자다. r²=0.36이라는 값이 회귀에서 설명되는 비율과 같다는 것을 분산분석표에서 확인하고 이 설명을 답으로 골랐다.
  4. 甲은 변수를 더할수록 모형이 좋아 보이는 이유를 따져 본 학생이다. 변수를 추가해도 잔차제곱합이 줄거나 같으므로 결정계수는 줄지 않는다는 점을 알고 감소한다는 서술을 옳지 않다고 적었다.

  결정계수는 단순회귀에서 표본상관계수의 제곱과 같아 표본상관계수로 구할 수 있으므로 3번이 옳다.

• 50

  어느 도시의 고등학생 중 남학생 100명과 여학생 100명을 무작위추출한 뒤 수학과 영어 과목에 대한 선호도를 조사하여 다음과 같은 분할표를 얻었다. “성별에 따라 과목 선호도에 차이가 없다.”라는 귀무가설을 검정하기 위한 카이제곱검정통계량의 값이 8 일 때, (가)의 값과 귀무가설 하에서의 이 검정통계량의 근사적인 분포를 바르게 연결한 것은? (단, (가) ≥ 50 이다)

  과목 성별수학영어계남학생(가)100여학생100계100100200 (가) 근사적인 분포

  1. 1. 55 자유도가 1인 카이제곱분포
  2. 2. 55 자유도가 2인 카이제곱분포
  3. 3. 60 자유도가 1인 카이제곱분포
  4. 4. 60 자유도가 2인 카이제곱분포

  정답 3번

  🔍 보기별 해설

  1. (가)=55이면 네 칸의 편차가 모두 5라 χ²=4(5)²/50=2로 계산되어 주어진 검정통계량 8이 나오지 않으므로 이 값은 옳지 않다.
  2. (가)=55이면 χ²=2로 8과 다르고 이 보기가 적은 분포도 2×2 표의 자유도 1과 다른 것이어서 두 곳이 모두 어긋나므로 옳지 않다.
  3. (가)=60이면 χ²=4(10)²/50=8이고 2×2 분할표의 자유도는 (2−1)(2−1)=1이라 (가)와 분포가 모두 맞으므로 옳다(정답).
  4. (가)=60은 맞지만 2×2 분할표의 카이제곱 분포 자유도는 1이지 2가 아니어서 자유도가 어긋나므로 옳지 않다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 주변합이 모두 100이면 기대도수가 모든 칸에서 50이 된다는 것을 계산한 학생이다. (가)를 55로 놓으면 통계량이 4×25/50=2에 그쳐 주어진 8이 안 나온다는 점을 확인하고 이 보기를 지웠다.
  2. 甲은 (가)=55에서 통계량이 2임을 알고도 자유도를 따로 세어 본 수험생이다. 2×2 표에서는 (행의 수−1)×(열의 수−1)=1이라 자유도 2로 적은 것도 틀렸다는 점을 이어 적었다.
  3. 甲은 4(가−50)²/50=8을 풀어 (가−50)²=100, (가)≥50이라 (가)=60을 얻은 응시자다. 자유도 1인 카이제곱 분포와 함께 이 보기를 답으로 골랐다.
  4. 甲은 자유도를 범주의 수 4에서 2를 뺀 값으로 잘못 셌던 학생이다. 분할표에서는 행의 수−1과 열의 수−1을 곱하는 것이므로 (2−1)(2−1)=1이라는 점을 고쳐 적었다.

  남학생 중 수학을 선호하는 수를 a라 하면 주변합이 모두 100이라 기대도수가 각 칸 50이고 χ²=4(a−50)²/50=8에서 a=60이며 2×2 표라 자유도는 (2−1)(2−1)=1이므로 3번이 옳다.

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• 51

  어느 도시에서 하루에 발생하는 교통사고 건수를 지난 200일 동안 조사하여 다음 표와 같이 정리하였다. 교통사고 건수01234계해당일 수9050302010200 이 자료에서 구한 하루 발생 교통사고 건수의 통계량의 값으로 옳지 않은 것은?

  1. 1. 평균은 1.05이다.
  2. 2. 중앙값은 1이다.
  3. 3. 최빈값은 0이다.
  4. 4. 제3사분위수는 3이다.

  정답 4번

  🔍 보기별 해설

  1. 평균은 (0×90+1×50+2×30+3×20+4×10)/200=210/200=1.05이므로 이 설명은 옳다.
  2. 누적일수가 0에서 90, 1에서 140이라 100번째와 101번째 값이 모두 1이므로 중앙값은 1이며 이 설명은 옳다.
  3. 건수 0이 90일로 다른 건수의 도수 50·30·20·10보다 가장 자주 나타나므로 최빈값은 0이라는 이 설명은 옳다.
  4. 누적일수가 1에서 140, 2에서 170이므로 제3사분위수에 해당하는 150번째 값은 2이지 3이 아니므로 이 설명은 옳지 않다(정답).

  🧮 풀이

  1. 甲은 건수마다 일수를 곱해 모두 더하는 방식으로 평균을 구한 학생이다. 곱의 합이 210이고 총 일수 200으로 나누면 1.05라는 점을 확인하고 이 설명이 옳다고 표시했다.
  2. 甲은 도수분포표에서 누적일수를 한 줄씩 적어 본 수험생이다. 0에서 90, 1에서 140이 되어 중앙 근처의 두 관측값이 모두 1이라는 점을 알고 중앙값 1이 옳다고 확인했다.
  3. 甲은 도수분포표에서 가장 큰 도수가 어느 칸인지 위에서 아래로 훑어본 응시자다. 90일로 가장 많은 건수 0이 최빈값이라는 점을 확인하고 이 설명을 옳은 것으로 분류했다.
  4. 甲은 제3사분위수를 가장 큰 값 근처의 수로 잘못 짐작한 학생이다. 200일의 75 %에 해당하는 150번째가 누적 170일 구간인 2 안에 있다는 것을 확인하고 3이라고 한 서술을 옳지 않은 것으로 골랐다.

  발생 건수 분포 90·50·30·20·10(총 200일)에서 평균은 210/200=1.05, 중앙값은 100·101번째 값이 모두 1, 최빈값은 0이고 제3사분위수는 150번째 값이 2이므로 3이라고 한 4번이 옳지 않다.

• 52

  분산이 같은 두 정규모집단 A와 B로부터 크기가 각각 8인 확률표본을 독립적으로 추출하였더니 표본분산이 각각 19와 13이었다. 두 모평균의 차 μ_A - μ_B 에 대한 95 % 신뢰구간의 길이는? (단, t_α (k) 는 자유도가 k 인 t 분포의 제 100 × (1-α) 백분위수를 나타내고, t(0.025) (7) = 2.365 , t(0.025) (14) = 2.145 이다)

  1. 1. 4.29
  2. 2. 4.73
  3. 3. 8.58
  4. 4. 9.46

  정답 3번

  🔍 보기별 해설

  1. 4.29는 2.145×2로 신뢰구간 길이의 절반, 곧 오차한계의 값이라 구간의 길이 8.58과 다르므로 옳지 않다.
  2. 4.73은 자유도 7인 t(0.025)=2.365에 표준오차 2를 곱한 값이라 자유도 14를 써야 하는 두 표본 합동분산 검정과 다르고 절반 길이이기도 하므로 옳지 않다.
  3. 공통분산 16으로 표준오차 2를 구하고 자유도 8+8−2=14의 t(0.025)=2.145를 써 길이 2×2.145×2=8.58을 얻었으므로 이 값이 옳다(정답).
  4. 9.46은 2×2.365×2로 자유도 7의 t값을 써 얻은 길이라 자유도 14의 t값 2.145를 써야 하는 이 문제의 값과 다르므로 옳지 않다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 신뢰구간의 길이를 오차한계와 같은 말로 쓴 학생이다. 2.145×2=4.29가 오차한계이고 구간은 양쪽으로 펼쳐지므로 길이가 그 두 배 8.58이라는 점을 고쳐 적었다.
  2. 甲은 두 표본이 각각 크기 8이라 자유도 7의 표를 본 수험생이다. 합동분산을 쓰는 검정의 자유도는 8+8−2=14이므로 2.365를 쓴 4.73이 어긋났다는 점을 확인해 이 보기를 지웠다.
  3. 甲은 합동분산 (19+13)/2=16을 구하고 표준오차 √(16×2/8)=2를 낸 응시자다. t(0.025)(14)=2.145를 곱해 2×2.145×2=8.58을 얻고 이 보기를 답으로 골랐다.
  4. 甲은 자유도를 7로 잘못 잡은 채 구간의 길이를 두 배로 계산한 학생이다. 2×2.365×2=9.46이 자유도 오류를 담은 값이라는 점을 확인하고 이 보기를 옳지 않은 것으로 분류했다.

  공통분산은 (19+13)/2=16이고 표준오차는 √(16×(1/8+1/8))=2이며 자유도 14의 t(0.025)=2.145를 쓰면 구간의 길이는 2×2.145×2=8.58이므로 3번이 옳다.

• 53

  앞면이 나올 확률이 p 인 동전에 대해 가설 H_0 : p = 1/2 , H_1 : p > 1/2 을 검정하려고 한다. 이 동전을 다섯 번 던져 보니 앞면이 네 번 나왔다면, 유의확률( p －value)은?

  1. 1. {1 / 16}
  2. 2. {2 / 16}
  3. 3. {3 / 16}
  4. 4. {4 / 16}

  정답 3번

  🔍 보기별 해설

  1. 1/16=2/32은 앞면이 0번이거나 5번인 두 경우의 확률과 같은 값이라 대립가설 p>1/2의 오른쪽 꼬리 P(X≥4)=6/32와 맞지 않으므로 옳지 않다.
  2. 2/16=4/32은 이 시행에서 앞면 4번 이상이라는 여섯 가지 경우(5+1)를 센 값 6/32와 맞지 않으므로 옳지 않다.
  3. H₁: p>1/2이므로 오른쪽 꼬리를 보아 P(X≥4)=P(X=4)+P(X=5)=5/32+1/32=6/32=3/16이 유의확률이므로 옳다(정답).
  4. 4/16=8/32도 관측된 결과 이상으로 극단적인 경우의 수 6을 32로 나눈 6/32와 다른 값이므로 옳지 않다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 0번과 5번처럼 양 끝 경우를 함께 센 학생이다. 그러나 대립가설이 p>1/2이라 유의확률은 오른쪽 꼬리 4번 이상의 6/32만 셈하므로, 양 끝의 합 2/32=1/16은 유의확률이 아니라는 점을 확인하고 이 보기를 지웠다.
  2. 甲은 동전 다섯 번의 경우의 수 32가지를 표로 만든 수험생이다. 앞면 4번이 5가지, 5번이 1가지로 합 6가지라는 점을 세어 두고 2/16(=4/32)이 그 수와 다르다는 것을 확인했다.
  3. 甲은 대립가설이 p>1/2이라 한쪽 꼬리만 본다는 점을 놓치지 않은 응시자다. P(X=4)=5/32와 P(X=5)=1/32를 더한 6/32=3/16을 구하고 이 보기를 답으로 골랐다.
  4. 甲은 답 4/16이 어느 경우의 수에서 나온 것인지 따져 본 학생이다. 32가지 중 8가지가 필요한데 앞면 4번 이상은 6가지뿐이라는 점을 확인하고 이 보기를 지웠다.

  동전 다섯 번 중 앞면이 4번 이상 나올 확률은 (5+1)/32=3/16이므로 유의확률은 3/16이며 3번이 옳다.

• 54

  다음은 연령대별로 스마트폰 과의존 위험군 비율을 조사한 것이다. 연령대 10대 이하 20 ～ 30대 40 ～ 50대 60대 이상 위험군 비율 28 % 37 % 22 % 16 % 표본 크기 50명 100명 100명 50명 이 자료를 바탕으로 다음의 가설을 검정하고자 한다.

  ○ H_0 : 연령대에 따라 과의존 위험군 비율에 차이가 없다.

  ○ H_1 : 연령대에 따라 과의존 위험군 비율에 차이가 있다. 귀무가설 H_0 가 참일 때 구한, 위험군에 속하는 사람 수의 추정된 기대도수와 관측도수 간에 차이가 존재한다. 이 차이의 절댓값이 가장 큰 연령대는?

  1. 1. 10대 이하
  2. 2. 20 ～ 30대
  3. 3. 40 ～ 50대
  4. 4. 60대 이상

  정답 2번

  🔍 보기별 해설

  1. 10대 이하는 관측 14명, 기대 13.5명으로 차이가 0.5에 그쳐 네 연령대 가운데 가장 작으므로 가장 큰 연령대에 해당하지 않는다.
  2. 20~30대는 관측 37명이고 기대 27명이라 차이의 절댓값이 10으로 네 연령대 중 가장 크므로 이 연령대가 해당한다(정답).
  3. 40~50대는 관측 22명, 기대 27명으로 차이가 5라 20~30대의 10보다 작으므로 가장 큰 연령대에 해당하지 않는다.
  4. 60대 이상은 관측 8명, 기대 13.5명으로 차이가 5.5라 20~30대의 10보다 작으므로 가장 큰 연령대에 해당하지 않는다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 10대 이하의 표본이 50명이라 위험군 14명을 봤고 기대도수 50×0.27=13.5와 거의 같다는 점을 계산한 학생이다. 차이가 0.5뿐이라 네 연령대 가운데 가장 작으므로 이 보기를 지웠다.
  2. 甲은 전체 위험군 비율 81/300=0.27을 구하고 연령대별 표본 크기를 곱해 기대도수를 만든 응시자다. 20~30대의 관측 37과 기대 27의 차이 10이 가장 크다는 점을 확인해 이 보기를 골랐다.
  3. 甲은 40~50대의 비율 22 %가 평균 27 %에서 5 %p 낮은 것에 주목한 학생이다. 표본이 100명이라 인원 차이로는 5명이지만 20~30대의 10명보다 작다는 점을 계산해 이 보기를 지웠다.
  4. 甲은 위험군 비율이 가장 낮은 16 %의 60대 이상이 가장 어긋난다고 추측한 수험생이다. 관측 8명과 기대 13.5명의 차이는 5.5뿐이고 20~30대의 10보다 작다는 점을 계산해 이 보기를 지웠다.

  위험군 수 관측도수는 14, 37, 22, 8이고 전체 위험군 비율 81/300=0.27로 구한 기대도수는 13.5, 27, 27, 13.5라 차이의 절댓값이 0.5, 10, 5, 5.5이므로 20~30대가 가장 크다.

• 55

  어느 마트에서 특정 상품에 대한 진열대의 높이와 폭이 매출액에 영향을 주는지 알아보기 위해, 진열대 높이( A )를 상, 중, 하 3수준으로, 폭( B )을 대, 소 2수준으로 하여 실험하였다. 다른 조건들이 동일한 12일 동안 6개의 실험조건을 무작위 순서로 2일씩 적용하여 매출액을 조사한 후 얻은 분산분석표가 다음과 같다. 이에 대한 설명으로 옳지 않은 것은?

  요인제곱합자유도평균제곱F －값인자 A1,544인자 B12교호작용 A × B24오차62계

  1. 1. 총제곱합은 1,642이다.
  2. 2. 인자 B 의 평균제곱은 교호작용 A × B 의 평균제곱과 동일하다.
  3. 3. 오차 자유도는 6이다.
  4. 4. 유의성검정에서의 유의확률은 인자 A 가 교호작용 A × B 보다 크다.

  정답 4번

  🔍 보기별 해설

  1. 총제곱합은 A, B, A×B, 오차의 제곱합을 모두 더한 값이므로 1544+12+24+62=1642가 되어 이 설명은 옳다.
  2. 인자 B는 2수준이라 자유도 1, 평균제곱 12/1=12이고 교호작용은 자유도 (3−1)(2−1)=2, 평균제곱 24/2=12로 같으므로 이 설명은 옳다.
  3. 12일 동안의 전체 자유도가 11이고 A 2, B 1, A×B 2를 빼면 오차 자유도는 11−5=6이므로 이 설명은 옳다.
  4. F값은 오차 평균제곱 62/6≈10.33으로 나누어 A가 772/10.33≈74.7, A×B가 12/10.33≈1.16이라 A의 F가 훨씬 커 유의확률은 A가 A×B보다 작으므로 크다는 이 설명은 옳지 않다(정답).

  🧮 풀이

  1. 甲은 표의 제곱합 네 개를 더해 총제곱합을 구한 학생이다. 1544에 12, 24, 62를 더해 1642가 나온다는 점을 확인하고 이 설명을 옳은 것으로 표시했다.
  2. 甲은 B가 2수준, A가 3수준이라는 것에서 자유도를 구한 수험생이다. B의 평균제곱 12와 A×B의 평균제곱 24/2=12가 같다는 점을 확인하고 이 설명을 옳은 것으로 분류했다.
  3. 甲은 실험 일수에서 하나를 뺀 수가 총 자유도라는 점에서 출발한 응시자다. 세 요인의 자유도를 차례로 빼고 남은 수를 오차의 자유도로 잡아 이 설명이 표와 맞는다는 것을 확인하고 옳은 문장으로 표시했다.
  4. 甲은 F값이 클수록 유의확률이 작다는 관계를 표로 정리한 학생이다. A는 74.7, A×B는 1.16이라 A의 유의확률이 A×B보다 훨씬 작다는 점을 알고 크다고 쓴 문장을 옳지 않은 것으로 골랐다.

  분산분석표에서 총제곱합은 1544+12+24+62=1642, B의 자유도 1·A×B의 자유도 2라 평균제곱이 모두 12이며 오차 자유도는 11−2−1−2=6이다. F는 인자 A가 74.7, 교호작용이 1.16이라 A의 유의확률이 더 작으므로 유의확률이 더 크다고 한 4번이 옳지 않다.

• 56

  다음은 자료 (x_1i, x_2i , y_i) (i = 1, 2, ⋯ , 23) 에 다중선형회귀모형 y_i = β_0 + β_1 x_1i + β_2 x_2i + ε_i 를 최소제곱법으로 적합하여 얻은 분산분석표이다. 이에 대한 설명으로 옳은 것만을 모두 고르면? (단, ε_i 는 N (0, σ^2) 을 따르고 서로 독립이다)

  요인제곱합자유도평균제곱F －값p －값회귀420(가)(다)&lt; 0.001잔차(나)계480

  ㄱ. 결정계수는 0.875이다.

  ㄴ. 유의수준 1 %에서 이 모형이 유의하다.

  ㄷ. (가) ＋ (나) ＋ (다) ＝ 283이다.

  1. 1. ㄱ, ㄴ
  2. 2. ㄱ, ㄷ
  3. 3. ㄴ, ㄷ
  4. 4. ㄱ, ㄴ, ㄷ

  정답 4번

  🔍 보기별 해설

  1. ㄱ과 ㄴ은 옳지만 (가)+(나)+(다)=210+3+70=283인 ㄷ도 옳은 진술인데 이 보기는 ㄷ을 빼고 있으므로 해당하지 않는다.
  2. ㄱ과 ㄷ은 옳지만 ㄴ도 p<0.001로 유의수준 1 %에서 모형이 유의하므로 옳은 진술인데 이 보기는 ㄴ을 빼고 있어 해당하지 않는다.
  3. ㄴ과 ㄷ은 옳지만 ㄱ도 420/480=0.875로 옳은 진술인데 이 보기는 ㄱ을 빼고 있어 해당하지 않는다.
  4. 결정계수 420/480=0.875, p<0.001이라 1 % 수준에서 유의하고 (가)=420/2=210, (나)=60/20=3, (다)=210/3=70이라 합 283으로 세 진술이 모두 옳으므로 이 보기가 해당한다(정답).

  🧮 풀이

  1. 甲은 ㄱ, ㄴ만 맞다고 보고 ㄷ의 합을 계산하지 않은 학생이다. (가)=210, (나)=3, (다)=70을 더하면 283이라는 점을 확인하고 ㄷ이 옳은 진술이라 이 보기가 세 진술을 다 담지 못한다고 적었다.
  2. 甲은 표에 p값이 0.001보다 작게 나와 있는데도 모형이 유의하지 않다고 여긴 수험생이다. 0.001은 0.01보다 작으므로 유의수준 1 %에서 유의하다는 것을 확인하고 ㄴ을 빼면 안 된다고 적었다.
  3. 甲은 결정계수를 SSR/SST로 계산하지 않은 응시자다. 420/480=0.875를 구해 ㄱ이 옳다는 것을 확인하고 이 진술을 뺀 보기가 맞지 않다는 것을 알았다.
  4. 甲은 잔차제곱합 480−420=60, 잔차 자유도 20으로 (나)=3을 얻은 학생이다. (가)=420/2=210, (다)=210/3=70을 구해 합 283을 확인하고 세 진술이 모두 옳아 이 보기를 답으로 골랐다.

  n=23, 회귀 자유도 2, 잔차 자유도 20이고 잔차제곱합은 480−420=60이다. 결정계수는 420/480=0.875(ㄱ 옳음), p<0.001이라 1 %에서 유의(ㄴ 옳음), (가)=210, (나)=3, (다)=70이라 합이 283(ㄷ 옳음)이므로 정답은 4번이다.

• 57

  다음 설명 중 옳지 않은 것은?

  1. 1. 유의수준 α = 0.01 에서 귀무가설을 기각하는 검정 결과가 나왔다면 유의수준 α = 0.05 에서도 귀무가설을 기각하게 된다.
  2. 2. 모든 자연수 n 에 대해 t(0.05) (n) < t(0.05) (n + 1) 이다(단, t(0.05) (k) 는 자유도가 k 인 t 분포의 제95백분위수).
  3. 3. 모든 자연수 n 에 대해 χ(0.05)^2 (n) < χ(0.05)^2 (n + 1) 이다(단, χ(0.05)^2 (k) 는 자유도가 k 인 카이제곱분포의 제95백분위수).
  4. 4. 두 사건 A_1 , A_2 가 서로 배반이고 P (B) > 0 일 때, P (A_1 ∪ A_2 | B) = P (A_1 | B) + P (A_2 | B) 이다.

  정답 2번

  🔍 보기별 해설

  1. 유의수준 0.01에서 기각되면 p값이 0.01보다 작아 0.05보다도 작으므로 유의수준 0.05에서도 기각되어 이 설명은 옳다.
  2. t 분포의 제95백분위수는 자유도가 커질수록 정규분포의 1.645에 다가가며 줄어들어 t(n)>t(n+1)이므로 반대로 적은 이 설명은 옳지 않다(정답).
  3. 카이제곱 분포의 제95백분위수는 자유도가 커질수록 분포가 오른쪽으로 옮겨 값이 커지므로 χ²(n)<χ²(n+1)이라는 이 설명은 옳다.
  4. 배반인 두 사건의 합집합 확률은 조건부확률에서도 더해지므로 P(A₁∪A₂|B)=P(A₁|B)+P(A₂|B)라는 이 설명은 옳다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 유의수준이 작을수록 기각하기 어렵다는 것을 그림으로 그려 본 학생이다. 0.01에서 기각한 결과는 0.05에서도 기각된다는 점을 확인하고 이 설명을 옳게 보았다.
  2. 甲은 t 분포표에서 자유도가 커지면 상위 5 % 점이 어떻게 변하는지 나란히 적은 수험생이다. 자유도 1의 6.314에서 시작해 점점 줄어 1.645에 다가가므로 증가한다는 문장이 반대라는 점을 표시했다.
  3. 甲은 카이제곱 분포의 평균이 자유도와 같다는 점을 떠올린 응시자다. 자유도가 커지면 분포 전체가 오른쪽으로 옮겨 제95백분위수도 커진다는 것을 확인하고 이 설명을 옳은 것으로 분류했다.
  4. 甲은 배반사건의 조건부확률을 벤 다이어그램으로 그려 본 학생이다. B 안에서도 A₁과 A₂가 겹치지 않아 확률이 그대로 더해진다는 점을 확인하고 이 설명을 옳다고 표시했다.

  t 분포의 상위 5 % 점은 자유도가 커질수록 작아지므로 모든 n에서 t(n)<t(n+1)이라는 2번이 옳지 않다.

• 58

  다음은 자료 (x_i, y_i) ( i = 1, 2, ⋯, n )에 단순선형회귀모형 y_i = β_0 + β_1 x_i + ε_i 를 적합하여 구할 수 있는 값들이다.

  ○ x̄ = 1/n Σ(i = 1~n) x_i ○ ȳ = 1/n Σ(i = 1~n) y_i

  ○ e_i = y_i - β̂_0 -β̂_1 x_i ○ SSE = Σ(i = 1~n) e_i^2

  ○ S_xx = Σ(i = 1~n) (x_i -x̄)^2 ○ S_xy = Σ(i = 1~n) (x_i -x̄) (y_i -ȳ)

  ○ S_yy = Σ(i = 1~n)(y_i -ȳ)^2 다음 식 중 옳은 것은? (단, β̂_0 , β̂_1 은 각각 β_0 , β_1 의 최소제곱추정값이다)

  1. 1. β̂_1 = {S_xy / S_yy}
  2. 2. SSE = S_yy - β̂_1 S_xy
  3. 3. r^2 = S_xy/(S_xx S_yy) (단, r^2 은 결정계수)
  4. 4. Σ(i = 1~n) y_i e_i = 0

  정답 2번

  🔍 보기별 해설

  1. 최소제곱추정값 β̂₁은 Sxy를 x의 변동 Sxx로 나눈 값이어야 하는데 이 보기는 Syy로 나누었으므로 옳지 않다.
  2. SSE=Syy−β̂₁Sxy는 총변동 Syy에서 회귀로 설명되는 변동 β̂₁Sxy를 뺀 값이라는 식이므로 옳다(정답).
  3. 결정계수는 표본상관계수의 제곱 r²=Sxy²/(SxxSyy)인데 이 보기는 Sxy를 제곱하지 않고 적었으므로 옳지 않다.
  4. 잔차와 적합값은 직교(Σŷᵢeᵢ=0)하지만 관측값과의 곱은 Σyᵢeᵢ=Σeᵢ²=SSE로 0이 아니므로 옳지 않다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 회귀계수를 구하는 식에서 분모를 헷갈린 학생이다. 기울기는 x가 한 단위 변할 때의 변화이므로 x의 변동 Sxx로 나눠야 한다는 정의를 다시 확인하고 Syy로 나눈 보기를 지웠다.
  2. 甲은 총변동을 회귀로 설명되는 부분과 남는 부분으로 나눠 그린 수험생이다. SSE=Syy−β̂₁Sxy로 남는 부분을 구할 수 있다는 점을 확인하고 이 식을 답으로 골랐다.
  3. 甲은 결정계수를 상관계수의 제곱으로 적으려다 제곱을 빠뜨린 응시자다. r²=Sxy²/(SxxSyy)에서 분자가 Sxy의 제곱이라는 점을 고쳐 적고 이 식이 0과 1 사이 값이 되는지도 확인했다.
  4. 甲은 잔차가 자료와 직교한다는 말을 그대로 기억한 학생이다. 잔차와 직교하는 것은 적합값이고 관측값과의 곱은 SSE와 같다는 점을 식으로 전개해 확인하고 이 보기를 지웠다.

  단순회귀에서 SSE=Syy−β̂₁Sxy로 쓸 수 있으므로 2번이 옳다. β̂₁=Sxy/Sxx, r²=Sxy²/(SxxSyy)이며 Σyᵢeᵢ=SSE이므로 나머지 셋은 옳지 않다.

• 59

  두 이산확률변수 X , Y 의 결합확률질량함수가 다음과 같을 때, P (Y = 2X) 의 값은? (단, c 는 상수이다)

  f(x, y) = {x + y / c} , x = 1, 2, 3 , y = 1, 2, 3, 4

  1. 1. {1 / 18}
  2. 2. {1 / 9}
  3. 3. {1 / 6}
  4. 4. {2 / 9}

  정답 3번

  🔍 보기별 해설

  1. 1/18=3/54은 (x,y)=(1,2) 한 쌍의 확률일 뿐이고 (2,4)의 6/54를 더하지 않았으므로 P(Y=2X)의 값으로 옳지 않다.
  2. 1/9=6/54은 (x,y)=(2,4) 한 쌍의 확률일 뿐이고 (1,2)의 3/54를 더하지 않았으므로 옳지 않다.
  3. x, y의 모든 합 Σ(x+y)=54이므로 c=54이고 Y=2X인 쌍은 (1,2)와 (2,4)뿐이라 (3+6)/54=1/6이므로 이 값이 옳다(정답).
  4. 2/9=12/54는 Y=2X를 만족하는 쌍 (1,2),(2,4)의 확률의 합 9/54와 다른 값이라 옳지 않다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 확률질량함수의 합이 1이 되도록 c를 먼저 구한 학생이다. Σ(x+y)=54라는 점을 확인하고 (1,2)의 확률 3/54만 구해 답이라고 한 풀이가 한 쌍을 빼먹었다는 점을 짚었다.
  2. 甲은 Y=2X인 쌍을 모두 찾기 전에 (2,4)만 고른 수험생이다. x=1일 때 y=2도 조건을 만족한다는 것을 표로 다시 확인하고 6/54만 쓴 값이 부족하다는 점을 적었다.
  3. 甲은 x=1, 2, 3에 대해 y=2, 4, 6을 확인하고 y가 4 이하라 (3,6)은 없다는 점을 쓴 응시자다. 남은 두 쌍의 확률 3/54와 6/54를 더해 1/6을 구하고 이 보기를 답으로 골랐다.
  4. 甲은 12/54를 기약분수로 고쳐 2/9로 적은 학생이다. 그러나 조건을 만족하는 쌍의 확률 합은 9/54라는 점을 다시 더해 보고 2/9가 이 합과 다르다는 것을 확인했다.

  Σ(x+y)=54이므로 c=54이고 Y=2X를 만족하는 (x,y)=(1,2),(2,4)의 확률은 (3+6)/54=1/6이므로 3번이 옳다. (3,6)은 y의 범위 밖이다.

• 60

  수준이 3개이고 반복수가 각각 n_1 = 5 , n_2 = 10 , n_3 = 15 인 일원배치법으로부터 얻은 자료를 y_ij (i = 1, 2, 3, j = 1, 2, ⋯ , n_i) 라 하고, i 번째 수준에서의 평균을 ȳ(i.) = 1/n_i Σ(j = 1~n_i) y_ij 라 하자. ȳ(1.) = 6 , ȳ(2.) = 3 , ȳ(3.) = 2 일 때, 분산분석표에서 처리제곱합은?

  1. 1. 60
  2. 2. 90
  3. 3. 270
  4. 4. 330

  정답 1번

  🔍 보기별 해설

  1. 전체 평균 3을 기준으로 5(6−3)²+10(3−3)²+15(2−3)²=45+0+15=60이 처리제곱합이므로 이 값이 옳다(정답).
  2. 90은 세 처리의 관측값 합 5×6+10×3+15×2와 같은 수라 합계이지 평균에서의 편차를 제곱해 더한 처리제곱합이 아니므로 옳지 않다.
  3. 270은 전체 평균 3으로 만든 수정항 30×3²와 같은 수이고 처리제곱합은 Σnᵢȳᵢ²=330에서 이 수정항을 뺀 값이라 270 자체는 처리제곱합이 아니므로 옳지 않다.
  4. 330은 각 처리 평균의 제곱에 반복수를 곱해 더한 Σnᵢȳᵢ²와 같은 수이고 수정항 270을 빼기 전의 값이라 처리제곱합이 아니므로 옳지 않다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 처리 평균들을 전체 평균 3과 견줘 편차를 제곱해 반복수를 곱한 학생이다. 45+0+15=60이라는 값이 처리제곱합의 정의와 같다는 점을 확인하고 이 보기를 답으로 골랐다.
  2. 甲은 세 처리의 평균에 반복수를 곱해 다 더한 값을 처리제곱합으로 적은 수험생이다. 5×6+10×3+15×2=90은 관측값의 총합이라는 점을 확인하고 이 값을 평균에서의 편차 제곱합과 구별해 이 보기를 지웠다.
  3. 甲은 30×3²=270을 계산하고 멈춘 응시자다. 이 값은 수정항이고 Σnᵢȳᵢ²=330에서 이 값을 빼야 60이 나온다는 점을 확인해 270이 처리제곱합이 아니라고 적었다.
  4. 甲은 Σnᵢȳᵢ²=5×36+10×9+15×4=330까지 계산한 학생이다. 처리제곱합은 여기에서 수정항 270을 뺀 값이라는 점을 확인하고 330을 그대로 쓴 보기를 지웠다.

  전체 평균이 (5×6+10×3+15×2)/30=3이고 처리제곱합은 Σnᵢ(ȳᵢ−ȳ)²=5×9+10×0+15×1=60이므로 1번이 옳다.

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• 61

  다음 설명 중 옳지 않은 것은?

  1. 1. 자료의 제 40 백분위수는 중앙값보다 작거나 같다.
  2. 2. 자료의 표준편차와 변동계수의 단위는 같다.
  3. 3. 자료 1 , 2 의 산술평균은 기하평균보다 크다.
  4. 4. 5 % 절사평균은 전체 자료의 10 %를 삭제한 자료의 평균이다.

  정답 2번

  🔍 보기별 해설

  1. 40 번째 백분위수는 자료를 크기순으로 놓았을 때 아래에서 40 % 위치의 값이고 중앙값은 50 % 위치의 값이라 앞의 값이 뒤의 값보다 크지 않으므로 이 설명은 옳다.
  2. 표준편차는 자료와 같은 단위를 갖지만 변동계수는 표준편차를 평균으로 나눈 비라 단위가 서로 약분되어 없어지므로 두 단위가 같다는 이 설명은 옳지 않다(정답).
  3. 두 수 1 과 2 의 산술평균은 1.5 이고 기하평균은 √2 로 약 1.41 이라 산술평균이 더 크므로 산술평균이 기하평균보다 크다는 이 설명은 옳다.
  4. 5 % 절사평균은 작은 쪽 5 % 와 큰 쪽 5 % 를 각각 빼고 평균을 내므로 양쪽을 합해 전체의 10 % 를 삭제한 자료의 평균이 되어 이 설명은 옳다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 40 백분위수와 50 백분위수의 위치를 수직선에 표시해 본 학생이다. 크기순으로 세울 때 40 % 지점이 50 % 지점보다 앞이라 값이 작거나 같다는 것을 확인하고 이 보기를 옳은 쪽에 두었다.
  2. 甲은 표준편차가 자료와 같은 kg 이나 cm 단위를 갖는 것을 기억한 응시자다. 그런데 변동계수는 표준편차를 평균으로 나눈 몫이라 같은 단위가 나눗셈에서 약분된다는 점을 놓쳐 단위가 같다고 읽었다.
  3. 甲은 1 과 2 를 직접 넣어 두 평균을 비교한 수험생이다. 산술평균 1.5 가 기하평균 √2 의 약 1.41 보다 크다는 것을 셈해 보고 두 수가 다르면 산술평균이 항상 더 크다고 정리했다.
  4. 甲은 절사평균의 삭제 비율을 양쪽에서 따로 세어 본 학생이다. 5 % 절사면 작은 쪽과 큰 쪽에서 5 % 씩 지워 모두 10 % 가 빠진다는 것을 알고 이 진술을 옳은 것으로 분류했다.

  변동계수는 표준편차를 평균으로 나눈 비율이라 단위가 없는 수이고 표준편차만 자료와 같은 단위를 가지므로 두 단위가 같다는 설명이 옳지 않다. 정답은 2번이다.

• 62

  자료 (x_i , y_i) (i = 1,2,…, n) 에 단순선형회귀모형 y_i ＝ β_0 ＋ β_1 x_i ＋ ε_i 를 적합하여 분석하고자 한다. 다음 산점도 중 단순선형회귀모형의 결정계수가 가장 큰 것은?

  1. 1.
  2. 2.
  3. 3.
  4. 4.

  정답 2번

  🔍 보기별 해설

  1. 이 산점도는 오른쪽 위로 기울기는 하지만 점들이 넓게 흩어져 상관계수가 0.5 안팎에 그쳐 결정계수가 약 0.25 정도라 네 그림 가운데 가장 큰 것에 해당하지 않는다.
  2. 이 산점도는 왼쪽 아래에서 오른쪽 위로 점들이 직선 둘레에 좁게 모여 상관계수가 0.9 안팎이라 결정계수가 약 0.8 로 네 그림 가운데 가장 커서 해당한다(정답).
  3. 이 산점도는 점들이 네모난 틀 안에 고르게 흩어져 있어 어느 방향으로도 기울지 않으므로 상관계수가 0 에 가깝고 결정계수도 0 에 가까워 가장 큰 것에 해당하지 않는다.
  4. 이 산점도는 점들이 원 모양으로 놓여 직선 관계가 없어 상관계수가 0 에 가깝고 결정계수도 0 에 가까우므로 관계가 뚜렷해 보여도 가장 큰 것에 해당하지 않는다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 점들이 오른쪽 위로 향하는 것만 보고 결정계수가 크다고 판단한 학생이다. 그러나 점들이 넓게 퍼져 직선 둘레의 오차가 커서 상관계수가 0.5 정도에 그친다는 것을 확인하고 이 그림을 지웠다.
  2. 甲은 네 그림의 흩어진 정도를 직선 둘레의 폭으로 견준 응시자다. 점들이 가장 좁게 오른쪽 위로 모인 그림이 상관계수 제곱, 곧 결정계수가 가장 크다는 것을 확인하고 이 그림을 골랐다.
  3. 甲은 네모난 틀에 점이 고르게 찍힌 그림을 보고 점이 빽빽해 관계가 세다고 본 수험생이다. 기울기가 없어 회귀직선이 수평이 되고 설명되는 변동이 거의 없으므로 결정계수가 0 이라는 것을 알았다.
  4. 甲은 점이 원을 그리며 또렷하게 놓인 그림을 관계가 가장 뚜렷하다고 읽은 학생이다. 원은 직선이 아니라 상관계수가 0 근처라 결정계수도 작다는 것을 셈해 보고 후보에서 뺐다.

  결정계수는 단순선형회귀에서 상관계수의 제곱이라 점들이 직선 둘레에 가장 좁게 모인 그림이 가장 크며 2번 산점도가 그렇다. 정답은 2번이다.

• 63

  컴퓨터 부품의 품질은 두 인자 A, B에 따라 달라질 수 있다고 한다. 다음은 인자 A의 3 가지 수준과 인자 B의 6 가지 수준의 가능한 18 가지 실험 조건에서 무작위 순서로 한 개씩 부품을 생산한 후, 부품의 품질을 수치화하여 얻은 분산분석표의 일부이다. 인자 A의 수준에 따라 부품의 품질에 차이가 있는지를 검정하기 위한 F －검정통계량의 값은?

  요인제곱합자유도평균제곱F －값인자 A540인자 B400오차100계1,040

  1. 1. 4
  2. 2. 8
  3. 3. 27
  4. 4. 54

  정답 3번

  🔍 보기별 해설

  1. 4 는 인자 B 의 제곱합 400 을 오차의 제곱합 100 으로 나눈 값이라 자유도로 나눈 평균제곱끼리의 비가 아니고 A 의 F 값으로 쓸 수 없으므로 이 값은 옳지 않다.
  2. 8 은 인자 B 의 평균제곱 400 ÷ 5 = 80 을 오차의 평균제곱 10 으로 나눈 값이라 인자 B 에 대한 F 값이며 A 를 검정하는 값이 아니므로 이 값은 옳지 않다.
  3. A 는 자유도가 3−1=2 이라 평균제곱이 270 이고 오차는 (3−1)(6−1)=10 을 나눈 평균제곱이 10 이므로 F=270/10=27 이 되어 이 값이 옳다(정답).
  4. 54 는 A 의 제곱합 540 을 오차의 평균제곱 10 으로 나눈 값이라 A 의 제곱합을 자유도 2 로 나누지 않고 F 를 만든 결과이므로 이 값은 옳지 않다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 분산분석표의 제곱합 칸 세 개를 나란히 적은 학생이다. 400 을 100 으로 나누면 4 가 나오지만 이는 평균제곱이 아니라 제곱합끼리의 비라서 F 가 아니라는 것을 알고 이 값을 지웠다.
  2. 甲은 인자 B 의 자유도 5 를 구해 400 을 5 로 나눈 80 을 오차 10 과 견준 수험생이다. 그 몫 8 이 B 의 F 값이지 A 의 값이 아니라는 것을 확인하고 인자를 바꿔 읽었음을 알았다.
  3. 甲은 A 의 자유도 2 와 오차의 자유도 (3−1)(6−1)=10 을 먼저 적은 응시자다. 평균제곱 270 과 10 을 만들어 나눈 27 이 A 효과의 F 값이라는 것을 확인하고 이 값을 골랐다.
  4. 甲은 오차의 평균제곱만 10 으로 구한 뒤 A 의 제곱합 540 을 그대로 나눈 학생이다. 분자도 자유도 2 로 나눈 평균제곱 270 이어야 한다는 것을 떠올려 54 를 27 로 고쳤다.

  인자 A 의 평균제곱은 제곱합 540 을 자유도 2 로 나눈 270 이고 오차의 평균제곱은 100 을 자유도 10 으로 나눈 10 이므로 F 값은 27 이다. 정답은 3번이다.

• 64

  가설검정에 대한 설명으로 옳지 않은 것은?

  1. 1. 제2종 오류는 대립가설이 참일 때 귀무가설을 기각하지 못하는 오류이다.
  2. 2. 검정력(power)은 대립가설이 참일 때 귀무가설을 기각하는 확률이다.
  3. 3. 유의확률(p-value)이 유의수준보다 작을 때 귀무가설을 기각한다.
  4. 4. 자료를 관찰한 후 귀무가설과 대립가설을 설정한다.

  정답 4번

  🔍 보기별 해설

  1. 제2종 오류는 대립가설이 실제로 참인데도 귀무가설을 기각하지 못하고 채택해 버리는 오류로서 그 확률이 β 이므로 이 설명은 옳다.
  2. 검정력은 대립가설이 참일 때 귀무가설을 옳게 기각할 확률이라 1 에서 제2종 오류의 확률 β 를 뺀 값과 같으므로 이 설명은 옳다.
  3. 유의확률이 유의수준보다 작으면 관찰한 결과가 귀무가설 아래에서 일어나기 매우 드문 것이라 귀무가설을 기각하는 규칙이므로 이 설명은 옳다.
  4. 귀무가설과 대립가설은 자료를 관찰하기 전에 연구 목적에 맞춰 먼저 세워야 하고 결과를 본 뒤에 정하면 결론에 맞춘 가설이 되므로 이 설명은 옳지 않다(정답).

  🧮 풀이

  1. 甲은 두 오류를 표로 적어 대립가설이 참일 때의 칸을 찾아본 학생이다. 그 칸에서 기각하지 못하는 것이 제2종 오류라는 점을 확인하고 이 진술을 옳은 것으로 분류했다.
  2. 甲은 검정력을 1−β 로 외워 둔 응시자다. 대립가설이 참인 상황에서 옳게 기각하는 확률이라는 정의와 식이 일치한다는 것을 대조해 보고 이 보기를 옳은 진술로 두었다.
  3. 甲은 유의확률 0.03 과 유의수준 0.05 를 대 본 수험생이다. 유의확률이 더 작으면 기각한다는 규칙을 그대로 적용해 보고 이 진술이 기각 규칙과 맞다는 것을 확인했다.
  4. 甲은 자료를 먼저 관찰해 평균이 큰 쪽으로 대립가설을 정하면 편하다고 여긴 학생이다. 결과를 보고 가설을 세우면 기각 결론이 미리 정해진다는 점을 놓쳐 이 진술을 옳다고 읽었다.

  가설은 자료를 보기 전에 세워야 하고 결과를 본 뒤에 세우면 결과에 맞춰 가설을 고르게 되므로 4번이 옳지 않다. 정답은 4번이다.

• 65

  어느 회사에서 남성 150 명과 여성 150 명을 임의추출한 후 세 종류의 신상품 A, B, C에 대한 선호도를 조사하여 다음과 같은 분할표를 얻었다. “성별에 따른 신상품 선호도에 차이가 없다.”라는 귀무가설을 검정하기 위한 카이제곱검정통계량의 값과 유의수준 5 %에서 검정한 결과를 바르게 연결한 것은? (단, χ(α)^2 (k) 는 자유도가 k 인 카이제곱분포의 제 100 × (1-α) 백분위수를 나타내고, χ(0.05)^2 (2) ＝ 5.99 , χ(0.05)^2 (6) ＝ 12.59 이다)

  신상품 성별ABC계남성604050150여성406050150계100100100300 카이제곱검정통계량의 값 검정 결과

  1. 1. 8 귀무가설을 기각함
  2. 2. 8 귀무가설을 기각하지 못함
  3. 3. 15 귀무가설을 기각함
  4. 4. 15 귀무가설을 기각하지 못함

  정답 1번

  🔍 보기별 해설

  1. 기대도수가 모두 50 이라 (10²+10²+0+10²+10²+0)/50=8 이고 자유도 (2−1)(3−1)=2 의 기각값 5.99 보다 크므로 귀무가설을 기각하는 이 연결이 옳다(정답).
  2. 통계량 8 은 맞지만 자유도가 (2−1)(3−1)=2 이라 기각값이 5.99 이고 8 이 이보다 크므로 기각해야 하는데, 12.59 와 견주어 기각하지 못한다고 한 이 연결은 옳지 않다.
  3. 기대도수가 여섯 칸 모두 50 이면 통계량은 (10²+10²+0+10²+10²+0)/50=8 이지 15 가 아니고, 15 는 이 자료의 어느 식에서도 나오지 않으므로 15 와 기각을 잇는 이 연결은 옳지 않다.
  4. 통계량은 8 이라 15 가 아니고 15 는 이 자료에서 나오지 않는 수이며, 8 은 자유도 2 의 기각값 5.99 보다 커서 기각해야 하는데 기각하지 못한다고 했으므로 값과 결론이 둘 다 어긋나 옳지 않다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 세 상품 열마다 합계 100 에 성별 합계 150 을 곱해 전체 300 으로 나눈 기대도수 50 을 여섯 칸에 다 적은 학생이다. 편차 제곱의 합 400 을 50 으로 나눠 8 을 얻고 자유도 2 의 기각값 5.99 와 견주어 기각으로 판정했다.
  2. 甲은 분할표의 자유도를 칸의 수 6 으로 잡은 수험생이다. 행렬 검정의 자유도는 (행−1)(열−1)=2 이므로 기각값 12.59 가 아니라 5.99 를 써야 한다는 것을 알아채고 이 보기를 지웠다.
  3. 甲은 통계량을 8 로 구한 뒤 보기의 15 가 어느 식에서 나오는지 따져 본 응시자다. 기대도수 50 으로 편차 제곱을 다시 더해도 8 뿐이라 15 는 계산에서 나오지 않고, 자유도를 6 으로 잘못 센 사람이 12.59 와 견주게 하려고 놓은 수라는 점을 짚어 이 보기를 지웠다.
  4. 甲은 보기의 통계량과 결론을 하나씩 대 본 학생이다. 통계량은 8 이고 5.99 를 넘어 기각인데 이 보기는 기각하지 못한다고 적었고, 15 는 어느 식에서도 나오지 않는 수라는 점을 알아 버렸다.

  기대도수는 열 합계 100 에 성별 합계 150 을 곱해 300 으로 나눈 50 이라 카이제곱 값은 여섯 칸의 편차 제곱합 400 을 50 으로 나눈 8 이고 자유도는 (2−1)(3−1)=2 라 5.99 보다 크므로 기각한다. 정답은 1번이다.

• 66

  세 자료 A, B, C의 변동계수를 각각 a , b , c 라 할 때, 옳은 것은?

  ○ 자료 A: 10 , 20 , 30 , 40 , 50

  ○ 자료 B: 5 , 15 , 25 , 35 , 45

  ○ 자료 C: 5 , 10 , 15 , 20 , 25

  1. 1. a = c 이고 a < b
  2. 2. a = c 이고 b < a
  3. 3. a < b < c
  4. 4. c < b < a

  정답 1번

  🔍 보기별 해설

  1. A 는 표준편차 약 15.8 에 평균 30 이라 0.527 이고 C 는 약 7.9 에 평균 15 라 0.527 로 같으며 B 는 평균 25 라 0.632 로 더 크므로 이 설명이 옳다(정답).
  2. a 와 c 가 같다는 앞부분은 맞지만 b 는 표준편차가 A 와 같은 15.8 이고 평균이 25 로 더 작아 0.632 로 a 보다 크므로 b<a 라는 뒷부분이 옳지 않다.
  3. c 는 a 와 같은 0.527 이므로 a<b<c 에서 a<c 라는 부분이 성립하지 않고 b 도 c 보다 큰 0.632 이므로 이 설명은 옳지 않다.
  4. c<b<a 는 b 가 0.632 로 셋 중 가장 큰데 이를 가운데로 놓았고 a 와 c 가 같은 0.527 인데 c 가 a 보다 작다고 했으므로 이 설명은 옳지 않다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 세 자료의 평균 30, 25, 15 와 표준편차 15.8, 15.8, 7.9 를 나란히 적은 학생이다. 표준편차를 평균으로 나눠 0.527, 0.632, 0.527 을 얻고 a=c 이고 b 가 가장 크다고 판정했다.
  2. 甲은 B 가 A 의 모든 값에서 5 씩 뺀 자료임을 보고 퍼진 정도가 같으니 변동계수도 같다고 본 수험생이다. 평균이 30 에서 25 로 줄어 나누는 값이 작아지면 b 가 커진다는 것을 셈해 고쳤다.
  3. 甲은 자료 C 의 값이 가장 작으니 변동계수도 가장 작다고 짐작한 응시자다. C 는 표준편차 7.9 도 함께 작아 평균 15 로 나눈 값이 A 와 같은 0.527 이라는 것을 확인하고 이 보기를 지웠다.
  4. 甲은 평균이 클수록 변동계수가 크다고 반대로 알고 있던 학생이다. 나누는 평균이 클수록 몫이 작아진다는 것을 A 의 30 에서 0.527, B 의 25 에서 0.632 를 대 보고 바로잡았다.

  세 자료의 변동계수는 표준편차를 평균으로 나눈 값으로 a 와 c 는 약 0.527 로 같고 b 는 약 0.632 라 더 크므로 a=c 이고 a<b 인 1번이 옳다. 정답은 1번이다.

• 67

  두 확률변수 X 와 Y 의 결합확률분포가 다음 표와 같다. X 의 기댓값이 0 일 때, 옳은 것은?

  <div class="tbl-wrap"><table class="jtbl"><thead><tr><th>X Y</th><th>-1</th><th>1</th></tr></thead><tbody><tr><td>-1</td><td>{3 / 8}</td><td>( )</td></tr><tr><td>0</td><td>{1 / 8}</td><td>{1 / 4}</td></tr><tr><td>1</td><td>( )</td><td>{1 / 8}</td></tr></tbody></table></div>

  1. 1. Var(X) = {1 / 4}
  2. 2. E (Y) = {3 / 8}
  3. 3. E (X Y) = {1 / 4}
  4. 4. P (X + Y = 0) = {1 / 8}

  정답 4번

  🔍 보기별 해설

  1. 빈칸을 채우면 P(X=−1)=P(X=1)=1/2 이라 Var(X)=E(X²)=1 이고 1/4 이 아니므로 Var(X)=1/4 라는 이 설명은 옳지 않다.
  2. Y 는 −1 일 확률이 3/8+1/8=1/2 이고 0 일 확률이 3/8 이며 1 일 확률이 1/8 이라 E(Y)=−1/2+1/8=−3/8 이므로 부호가 반대인 3/8 은 옳지 않다.
  3. 곱 XY 는 (−1,−1) 에서 3/8, (1,−1) 에서 −1/8, (1,1) 에서 1/8 이고 (−1,1) 은 확률이 0 이라 E(XY)=3/8 이므로 1/4 은 옳지 않다.
  4. X+Y=0 인 칸은 (1,−1) 과 (−1,1) 이고 이들의 확률이 1/8 과 0 이라 P(X+Y=0)=1/8 이 되므로 이 설명이 옳다(정답).

  🧮 풀이

  1. 甲은 X 의 두 값 −1 과 1 의 확률을 모두 1/2 로 구한 학생이다. 제곱하면 모두 1 이 되어 분산이 E(X²)=1 이 되므로 1/4 이라는 값과 어긋남을 확인하고 이 보기를 지웠다.
  2. 甲은 Y 의 세 값 −1, 0, 1 의 확률을 행의 합으로 구해 1/2, 3/8, 1/8 을 얻은 수험생이다. 기댓값이 −3/8 로 음수인데 보기는 양수 3/8 이라 부호가 틀렸다는 것을 짚었다.
  3. 甲은 XY 의 값을 칸마다 곱해 적은 응시자다. 확률이 0 인 칸은 0 을 기여한다는 점까지 포함해 3/8−1/8+1/8=3/8 을 얻고 1/4 이라는 값과 다름을 확인해 이 보기를 지웠다.
  4. 甲은 E(X)=0 이라는 조건으로 빈칸 두 개를 1/8 과 0 으로 정한 학생이다. 합이 0 이 되는 두 칸의 확률을 더해 1/8 을 얻고 이 보기가 표와 맞다는 것을 확인했다.

  X+Y=0 인 칸은 (1,−1) 과 (−1,1) 이고 E(X)=0 과 확률의 합 1 로 두 빈칸이 1/8 과 0 이라 P(X+Y=0)=1/8 이 되므로 옳은 것은 4번이다. 정답은 4번이다.

• 68

  확률변수 X 에 대한 누적 확률 P (X ≤ x) 가 다음과 같을 때, 옳지 않은 것은?

  P (X ≤ x) = {0 (x < 0), {1 / 6} x (0 ≤ x < 2), {1 / 2} (2 ≤ x < 4), {1 / 6} x (4 ≤ x < 6), 1 (x ≥ 6)}

  1. 1. P (X ≤ a) = 1/4 을 만족시키는 a 의 값은 3/2 이다.
  2. 2. P (X = 3) = 0
  3. 3. P (X ≥ 5) = {2 / 3}
  4. 4. P (1 < X ≤ 4) = {1 / 2}

  정답 3번

  🔍 보기별 해설

  1. 누적확률 1/4 는 0 이상 2 미만 구간의 식 x/6 에서 a/6=1/4 이라 a=3/2 이고 이 값이 구간 안에 있으므로 이 설명은 옳다.
  2. 누적확률이 2 이상 4 미만에서 1/2 로 일정해 이 구간에서는 확률이 늘지 않으므로 3 에서의 점확률이 0 이라 P(X=3)=0 이고 이 설명은 옳다.
  3. P(X≥5) 는 1 에서 P(X<5)=5/6 을 뺀 1/6 이고 2/3 은 P(X≤4) 의 값일 뿐이므로 P(X≥5)=2/3 이라는 이 설명은 옳지 않다(정답).
  4. P(1<X≤4) 는 F(4)−F(1)=2/3−1/6=1/2 이라 누적확률의 차로 구한 값이 보기와 같으므로 이 설명은 옳다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 누적확률 1/4 를 0 이상 2 미만의 식 x/6 에 넣어 푼 학생이다. x/6=1/4 에서 x=3/2 가 구간 안에 있음을 확인하고 이 진술을 옳은 것으로 분류했다.
  2. 甲은 그래프에서 2 이상 4 미만이 수평인 것을 본 수험생이다. 수평이면 그 사이에 쌓이는 확률이 없으므로 3 에서의 점확률이 0 이라는 것을 알고 이 보기를 옳다고 표시했다.
  3. 甲은 P(X≥5) 를 F(4)=2/3 로 착각한 응시자다. 5 이상은 1 에서 F(5)=5/6 을 뺀 1/6 이고 2/3 는 4 이하의 확률이라는 점을 짚어 이 진술이 옳지 않다는 것을 찾았다.
  4. 甲은 구간 확률을 누적확률의 차로 옮겨 적은 학생이다. F(4) 는 4/6, F(1) 은 1/6 이라 차가 1/2 이 되는 것을 셈해 보고 이 진술이 표와 맞는다는 것을 확인했다.

  P(X≥5)=1−P(X<5)=1−5/6=1/6 이므로 2/3 이라는 3번 설명이 옳지 않다. 정답은 3번이다.

• 69

  확률변수의 성질에 대한 설명으로 옳은 것만을 모두 고르면?

  ㄱ. 확률변수 X 가 정규분포를 따를 때 5X + 100 은 정규분포를 따른다.

  ㄴ. 확률변수 X 가 평균이 1 이고 분산이 1 인 정규분포를 따를 때 (X-1)^2 은 자유도가 1 인 카이제곱분포를 따른다.

  ㄷ. 확률변수 X 와 Y 가 서로 독립이고 표준정규분포를 따를 때 X/Y 는 분자와 분모의 자유도가 각각 1, 1 인 F 분포를 따른다.

  1. 1. ㄱ
  2. 2. ㄱ, ㄴ
  3. 3. ㄱ, ㄷ
  4. 4. ㄴ, ㄷ

  정답 2번

  🔍 보기별 해설

  1. ㄱ 은 옳지만 ㄴ 도 표준화한 (X−1) 을 제곱한 것이 자유도 1 인 카이제곱이라 옳은데 ㄱ 만 고른 이 보기는 ㄴ 을 빠뜨렸으므로 옳지 않다.
  2. ㄱ 과 ㄴ 은 각각 정규분포의 일차변환과 표준정규분포의 제곱으로 옳고 ㄷ 은 X/Y 가 F 분포가 아니라 t 분포(코시분포)이므로 ㄱ, ㄴ 만 고른 이 보기가 옳다(정답).
  3. ㄷ 은 X/Y 가 F 분포가 되려면 X²/Y² 이어야 하므로 옳지 않은데 이를 포함하고 옳은 ㄴ 을 빼서 ㄱ, ㄷ 을 고른 이 보기는 옳지 않다.
  4. ㄴ 은 자유도 1 인 카이제곱으로 옳지만 ㄷ 은 X/Y 가 t 분포라 옳지 않고, 정규분포의 일차변환인 옳은 ㄱ 도 빠뜨렸으므로 ㄴ, ㄷ 을 고른 이 보기는 옳지 않다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 세 진술 가운데 ㄱ 만 옳다고 본 학생이다. 그러나 평균 1 분산 1 인 정규변수에서 평균을 뺀 값이 표준정규이고 그 제곱은 자유도 1 인 카이제곱이라 ㄴ 도 옳다는 점을 확인했다.
  2. 甲은 X/Y 의 분포를 따로 적어 본 응시자다. 분자와 분모가 표준정규이면 자유도 1 인 t 분포이고 F(1,1) 은 X²/Y² 이라 ㄷ 이 틀렸다는 것을 확인하고 ㄱ, ㄴ 을 골랐다.
  3. 甲은 ㄷ 의 F(1, 1) 이라는 이름만 보고 이 진술을 옳다고 본 수험생이다. 몫 X/Y 는 음수도 되지만 F 분포는 양수만 가진다는 점을 짚어 옳지 않다는 것을 알고 이 조합을 지웠다.
  4. 甲은 ㄴ 과 ㄷ 이 카이제곱과 F 분포 이야기라 짝이 맞는다고 본 응시자다. 정규분포의 일차변환인 ㄱ 도 정규분포를 따라 옳으므로 ㄱ 이 빠진 이 조합은 틀렸다는 것을 확인했다.

  ㄱ 은 정규분포의 일차변환이라 옳고 ㄴ 은 표준화한 값의 제곱이라 자유도 1 인 카이제곱분포를 따르므로 옳으며 ㄷ 은 X/Y 가 t 분포(코시분포)이고 F(1,1) 은 X²/Y² 라 옳지 않다. 정답은 2번이다.

• 70

  어떤 방송사의 저녁 뉴스 시청률을 알아보기 위해 400 가구를 조사했다. 이 방송사 저녁 뉴스를 시청하는 비율 p 에 대한 가설 H_0 : p ＝ 0.1 대 H_1 : p > 0.1 에 대한 검정에서 Z －검정통계량의 값이 2 일 때, 조사한 400 가구 중 이 방송사 저녁 뉴스를 시청한 가구 수와 유의확률을 바르게 연결한 것은? (단, 확률변수 Z 가 표준정규분포를 따를 때 P (Z ≤ 2) ＝ 0.9772 이다)

  시청한 가구 수 유의확률

  1. 1. 50 0.0228
  2. 2. 50 0.0456
  3. 3. 52 0.0228
  4. 4. 52 0.0456

  정답 3번

  🔍 보기별 해설

  1. 50 가구이면 표본비율 0.125 라 Z=(0.125−0.1)/0.015≈1.67 이라 Z=2 와 어긋나므로 가구 수가 옳지 않고 이 연결은 옳지 않다.
  2. 50 가구는 Z≈1.67 이라 가구 수가 어긋나고 대립가설이 p>0.1 인 단측 검정의 유의확률도 0.0228 이지 두 배인 0.0456 이 아니므로 이 연결은 옳지 않다.
  3. 표본비율 0.1+2×0.015=0.13 이라 400×0.13=52 가구이고 P(Z≥2)=1−0.9772=0.0228 이므로 52 와 0.0228 을 연결한 이 보기가 옳다(정답).
  4. 가구 수 52 는 맞지만 H₁: p>0.1 은 오른쪽 한쪽만 보는 검정이라 유의확률이 0.0228 이므로 양쪽을 합친 0.0456 을 쓴 이 연결은 옳지 않다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 표본비율을 시청 가구 수 나누기 400 으로 놓고 50 가구를 넣어 본 학생이다. 0.125 에서 Z 가 1.67 이 되어 조건 Z=2 와 맞지 않는다는 것을 셈으로 확인하고 이 보기를 지웠다.
  2. 甲은 가구 수 50 과 유의확률 0.0456 을 함께 고른 수험생이다. 가구 수는 Z=1.67 이라 어긋나고 오른쪽 꼬리만 보는 검정이라 확률도 두 배가 아니라는 두 가지를 다 바로잡았다.
  3. 甲은 Z=2 에서 표본비율을 0.1+2×0.015=0.13 으로 거꾸로 구한 응시자다. 400 에 곱해 52 가구를 얻고 1−0.9772=0.0228 을 유의확률로 적어 이 보기가 맞는다고 골랐다.
  4. 甲은 가구 수 52 를 맞게 구한 학생이다. 그러나 대립가설이 p>0.1 이면 오른쪽 꼬리만 세므로 0.0228 이라는 점을 놓쳐 양쪽 검정처럼 두 배인 0.0456 으로 적었다가 고쳤다.

  Z=2 이면 표본비율이 0.1+2×0.015=0.13 이라 400×0.13=52 가구이고 단측 검정의 유의확률은 1−0.9772=0.0228 이므로 정답은 3번이다.

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• 71

  다음은 자료 (x_i , y_i) (i = 1,2, … , n) 에 단순선형회귀모형 y_i ＝ β_0 ＋ β_1 x_i ＋ ε_i 를 최소제곱법으로 적합하여 얻은 결과이다. 이 단순선형회귀모형의 잔차제곱합(SSE)은? (단, β̂_1 은 β_1 의 최소제곱추정량이다)

  Σ(i = 1~n) (x_i - x̄)^2 = 30 , Σ(i = 1~n) (y_i - ȳ)^2 = 360 , β̂_1 = 2

  1. 1. 90
  2. 2. 120
  3. 3. 240
  4. 4. 270

  정답 3번

  🔍 보기별 해설

  1. 90 은 총제곱합 360 을 기울기의 제곱 4 로 나눈 값일 뿐이라 총제곱합을 나누는 제곱합의 분해와 무관하고 SSE 는 360−120=240 이므로 이 값은 옳지 않다.
  2. 120 은 회귀제곱합 4×30 이지 잔차제곱합이 아니다. 잔차제곱합은 총제곱합 360 에서 이를 뺀 240 이므로 이 값은 옳지 않다.
  3. 회귀제곱합은 β̂₁² 곱하기 Sxx 로 4×30=120 이고 총제곱합 360 에서 이를 뺀 잔차제곱합이 240 이므로 이 값이 옳다(정답).
  4. 270 은 360 에서 90 을 뺀 값인데 90 은 회귀제곱합 120 이 아니므로 잔차제곱합이 270 이 될 수 없고 옳은 값은 240 이므로 이 값은 옳지 않다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 총제곱합을 기울기 제곱으로 나누면 잔차 몫이 된다고 여긴 학생이다. 그러나 4×30 이 회귀제곱합 120 이고 잔차제곱합은 총합에서 이를 빼 남는 240 이라는 분해 순서를 짚고 90 을 지웠다.
  2. 甲은 β̂₁²×Sxx=4×30=120 을 구해 놓고 이를 잔차제곱합으로 옮겨 적은 수험생이다. 120 은 회귀로 설명되는 몫이라 총제곱합 360 에서 빼야 잔차가 된다는 것을 알아채고 고쳤다.
  3. 甲은 총제곱합 360 을 회귀제곱합 120 과 잔차제곱합의 합으로 나누어 적은 응시자다. 360−120=240 을 얻고 결정계수가 120/360=1/3 인 것과도 맞아 이 값을 골랐다.
  4. 甲은 회귀제곱합을 90 으로 잘못 놓고 360−90=270 을 잔차제곱합으로 적은 학생이다. 회귀제곱합은 기울기 제곱에 Sxx 를 곱한 120 이라는 점에서 이 값이 틀린 것을 확인했다.

  회귀제곱합은 β̂₁ 의 제곱 4 에 Sxx 30 을 곱한 120 이고 잔차제곱합은 총제곱합 360 에서 120 을 뺀 240 이므로 정답은 3번이다.

• 72

  자료 (x_i , y_i) (i = 1,2, … ,20) 에 절편이 없는 단순선형회귀모형 y_i ＝ β x_i ＋ ε_i 를 적합하려고 한다. β 에 대한 최소제곱추정량은? (단, x_i 는 서로 다르다)

  1. 1. {Σ(i = 1~20) x_i y_i / Σ(i = 1~20) x_i^2}
  2. 2. {Σ(i = 1~20) x_i y_i / Σ(i = 1~20) (x_i - x̄)^2}
  3. 3. {Σ(i = 1~20) (x_i - x̄) (y_i - ȳ) / Σ(i = 1~20) x_i^2}
  4. 4. {Σ(i = 1~20) (x_i -x̄) (y_i - ȳ) / Σ(i = 1~20) (x_i - x̄)^2}

  정답 1번

  🔍 보기별 해설

  1. 잔차제곱합 Σ(y_i−βx_i)² 을 β 로 미분해 0 으로 놓으면 β̂=Σx_i y_i/Σx_i² 이 되어 편차를 쓰지 않은 원점 기준의 이 식이 옳다(정답).
  2. 분자는 원점 기준 Σx_i y_i 이지만 분모에 평균 편차 Σ(x_i−x̄)² 를 쓴 것은 절편이 있는 모형의 분모이므로 두 기준이 섞여 이 식은 옳지 않다.
  3. 분자에 편차의 곱 Σ(x_i−x̄)(y_i−ȳ) 를 쓰고 분모에 원점 기준 Σx_i² 를 쓴 식이라 기준이 섞이므로 이 식은 옳지 않다.
  4. 편차의 곱과 편차의 제곱을 쓴 식은 절편이 있는 단순선형회귀의 기울기 추정량이고 절편이 없는 모형에서는 쓸 수 없으므로 이 식은 옳지 않다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 잔차제곱합을 β 로 미분한 식 −2Σx_i(y_i−βx_i)=0 을 적어 본 학생이다. 정리하면 Σx_i y_i=βΣx_i² 이 되어 편차 없이 원점 기준으로 풀린다는 것을 확인하고 이 식을 골랐다.
  2. 甲은 분자는 Σx_i y_i 로 맞게 썼지만 분모를 평균 편차의 제곱합으로 바꿔 쓴 수험생이다. 그 분모는 절편이 있는 모형에서 나오는 것이라 두 기준이 섞였다는 것을 알아채고 지웠다.
  3. 甲은 분모는 원점 기준 Σx_i² 로 쓰고 분자만 편차의 곱으로 바꾼 응시자다. 미분한 식에서는 분자에도 원점 기준의 곱이 남는다는 것을 확인해 이 식이 틀렸음을 알았다.
  4. 甲은 익숙한 기울기 공식을 그대로 옮긴 학생이다. 그러나 편차를 쓰는 식은 절편을 함께 추정할 때의 결과라 절편이 없는 이 모형에서는 적용되지 않는다는 것을 알고 후보에서 뺐다.

  절편이 없는 모형에서 잔차제곱합 Σ(y_i−βx_i)² 을 β 로 미분해 0 으로 놓으면 β̂=Σx_i y_i/Σx_i² 이므로 정답은 1번이다.

• 73

  다음은 자료 (x_i , y_i) (i = 1,2,… ,12) 에 단순선형회귀모형 y_i ＝ β_0 ＋ β_1 x_i ＋ ε_i 를 최소제곱법으로 적합하여 얻은 분산분석표의 일부이다. 이 단순선형회귀모형에서 잔차제곱합의 자유도와 결정계수의 합은? (단, ε_i 는 정규분포 N (0, σ^2) 을 따르고 서로 독립이다)

  요인제곱합자유도평균제곱F －값회귀10잔차13계

  1. 1. {17 / 2}
  2. 2. {19 / 2}
  3. 3. {21 / 2}
  4. 4. {23 / 2}

  정답 3번

  🔍 보기별 해설

  1. 17/2 는 8+1/2 이라 잔차 자유도를 8 로 본 값인데 표본이 12 개인 단순선형회귀의 잔차 자유도는 12−2=10 이므로 결정계수 1/2 와 합한 21/2 이 옳고 이 값은 옳지 않다.
  2. 19/2 는 9+1/2 이라 잔차 자유도를 9 로 본 값인데 절편과 기울기 두 모수를 추정하므로 12−2=10 이라 21/2 이 옳고 이 값은 옳지 않다.
  3. F 값 10 과 잔차의 평균제곱 13 에서 회귀의 평균제곱 130 이 나와 회귀제곱합 130 과 잔차제곱합 130 이 같으므로 결정계수는 1/2 이고 잔차의 자유도 10 을 더한 21/2 이 옳다(정답).
  4. 23/2 는 11+1/2 이라 잔차 자유도를 총자유도 11 로 본 값이지만 회귀의 자유도 1 을 뺀 10 이 잔차 자유도이므로 21/2 이 옳고 이 값은 옳지 않다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 잔차의 자유도를 n−4=8 로 센 학생이다. 단순회귀는 β₀ 와 β₁ 두 모수뿐이라 n−2=10 이 되고 결정계수와 합해 21/2 라는 것을 다시 세어 확인하고 이 보기를 지웠다.
  2. 甲은 잔차의 자유도를 9 로 세어 19/2 를 얻은 수험생이다. 표본 12 개에서 두 모수를 빼면 10 이라는 점을 알고 결정계수 1/2 와 합한 값이 21/2 임을 확인해 이 보기를 버렸다.
  3. 甲은 F=MSR/MSE 에서 MSR 을 10×13=130 으로 거꾸로 구한 응시자다. 회귀 자유도 1 이라 SSR=130, SSE=13×10=130 이라 R²=1/2 이고 여기에 잔차 자유도 10 을 더해 21/2 을 얻었다.
  4. 甲은 총자유도 11 을 잔차의 자유도로 쓴 학생이다. 총자유도에서 회귀의 자유도 1 을 빼야 잔차 자유도 10 이 된다는 것을 짚고 결정계수와 합해 21/2 로 바로잡았다.

  F=10 이고 잔차의 평균제곱이 13 이라 회귀의 평균제곱은 130 이고 회귀의 자유도가 1 이라 회귀제곱합 130, 잔차제곱합 13×10=130 이므로 결정계수는 1/2 이고 잔차의 자유도 12−2=10 과 합해 21/2 이라 정답은 3번이다.

• 74

  주사위 한 개를 던져서 나온 눈의 수를 N 이라고 하자. 1 부터 N 까지의 자연수가 하나씩 적힌 공 N 개를 주머니에 넣은 후 임의로 한 개를 뽑을 때, 뽑힌 공에 적힌 숫자가 4 일 확률은? (단, 각 공에는 숫자가 하나만 적혀 있다)

  1. 1. {31 / 360}
  2. 2. {37 / 360}
  3. 3. {43 / 360}
  4. 4. {49 / 360}

  정답 2번

  🔍 보기별 해설

  1. 31/360 은 N 이 4, 5, 6 인 세 경우의 1/N 을 더한 37/60 에 1/6 을 곱한 37/360 과 다르므로 총확률로 구한 값과 맞지 않아 이 값은 옳지 않다.
  2. N 이 4, 5, 6 일 때 4 가 뽑힐 확률이 각각 1/4, 1/5, 1/6 이고 N 의 확률이 1/6 이라 1/6×37/60=37/360 이 되어 이 값이 옳다(정답).
  3. 43/360 은 1/4+1/5+1/6 의 합 37/60 에서 나오는 37/360 과 다르며 4 를 뽑는 세 경우의 합에서 이 값이 나오지 않아 옳지 않다.
  4. 49/360 은 세 경우 1/24, 1/30, 1/36 을 모두 통분해 더한 37/360 과 값이 달라 총확률로 셈한 값과 맞지 않으므로 옳지 않다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 N=4, 5, 6 세 경우를 나눠 4 가 뽑힐 확률 1/4, 1/5, 1/6 을 적은 학생이다. 통분한 합이 37/60 이고 이를 6 으로 나눈 37/360 이라 31/360 이 아님을 확인하고 이 보기를 지웠다.
  2. 甲은 총확률의 법칙을 쓴 응시자다. 각 N 의 확률 1/6 에 4 가 뽑힐 조건부확률을 곱해 1/24+1/30+1/36 = 15/360+12/360+10/360 을 더하고 37/360 이 나오는 것을 확인했다.
  3. 甲은 4 가 적힌 공이 들어 있는 N 이 4 이상이라는 조건만 세어 본 수험생이다. 세 값을 더해 37/60 을 얻고 다시 6 으로 나눠 37/360 이 되므로 43/360 은 어느 항에서도 나오지 않는다고 판단했다.
  4. 甲은 세 항을 360 분모로 통분한 학생이다. 분자 15, 12, 10 을 더해 37 이 되는 것을 확인하고 분자가 49 나 될 수 없다는 점에서 이 보기를 지웠다.

  N 이 4, 5, 6 일 때만 4 가 뽑히므로 확률은 1/6×(1/4+1/5+1/6)=1/6×37/60=37/360 이라 정답은 2번이다.

• 75

  어느 도시 직장인 1,500 명을 임의추출하여 성별과 출근 교통수단은 해당 항목을 선택하게 하고, 출근 거리와 소요 시간은 직접 작성하도록 하는 다음과 같은 설문조사를 실시했다. 성별: (가) 남성 (나) 여성 교통수단: (가) 대중교통 (나) 자가용 (다) 기타 출근 거리: ( ) km 소요 시간: ( ) 분 이에 대한 설명으로 옳지 않은 것은?

  1. 1. 교통수단에 따라 소요 시간에 차이가 있는지를 일표본(one sample) t －검정으로 확인할 수 있다.
  2. 2. 성별과 교통수단이 관련이 있는지를 독립성검정으로 확인할 수 있다.
  3. 3. 출근 거리와 소요 시간 사이에 선형관계가 있는지를 상관분석으로 확인할 수 있다.
  4. 4. 교통수단이 대중교통, 자가용, 기타인 비율이 6 : 3 : 1 인지를 적합도검정으로 확인할 수 있다.

  정답 1번

  🔍 보기별 해설

  1. 일표본 t 검정은 한 집단의 평균을 하나의 기준값과 견주는 방법이라 세 교통수단 집단의 소요 시간 평균을 견주는 데는 일원배치 분산분석을 써야 하므로 이 설명은 옳지 않다(정답).
  2. 성별과 교통수단은 둘 다 범주형이라 분할표를 만들어 두 변수가 독립인지 보는 카이제곱 독립성검정을 쓸 수 있으므로 이 설명은 옳다.
  3. 출근 거리와 소요 시간은 둘 다 연속형이라 산점도와 표본상관계수로 직선 관계가 있는지를 상관분석으로 확인할 수 있으므로 이 설명은 옳다.
  4. 관측한 범주별 도수가 6 : 3 : 1 의 비율에서 기대되는 도수와 다른지 비교하는 것이 적합도의 검정이므로 이 비율 가설의 확인에 카이제곱 적합도검정을 쓸 수 있어 이 설명은 옳다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 일표본 t 검정이 평균을 다루는 검정이라는 이름만 보고 이 진술을 옳다고 본 학생이다. 집단이 셋이면 한 기준값과의 비교가 아니라 집단 사이의 비교라 분산분석이라는 것을 놓쳤다.
  2. 甲은 성별 두 칸과 교통수단 세 칸의 도수표를 그려 본 수험생이다. 두 범주형 변수의 관련을 보는 카이제곱 독립성검정이 맞는 방법이라는 것을 확인하고 이 진술을 옳은 것으로 분류했다.
  3. 甲은 출근 거리와 소요 시간이 둘 다 연속형이라는 점에 주목한 응시자다. 연속형 두 변수의 선형관계는 상관계수로 잰다는 것을 떠올려 산점도까지 그려 본 뒤 이 진술을 옳다고 표시했다.
  4. 甲은 1,500 명을 6 : 3 : 1 로 나눠 900, 450, 150 을 기대도수로 적어 본 학생이다. 관측도수와 견주는 방식이라 한 변수의 범주 비율을 보는 적합도검정이 맞다는 것을 확인했다.

  세 교통수단 집단 사이에 소요 시간의 평균 차이를 보려면 일원배치 분산분석이 필요하고 일표본 t 검정은 한 집단의 평균을 특정 값과 견줄 때 쓰므로 1번이 옳지 않다. 정답은 1번이다.

• 76

  다음은 반복 수가 같은 일원배치법으로부터 얻은 분산분석표의 일부이다. 처리 효과가 없다는 귀무가설을 유의수준 5 %에서 검정하는 방법으로 옳은 것은? (단, F_α (k_1 , k_2) 는 분자와 분모의 자유도가 각각 k_1 , k_2 인 F 분포의 제 100 × (1-α) 백분위수를 나타내고, F(0.95) (3, 20) ＝ 0.12 , F_0.95 (20, 3) ＝ 0.32 , F_0.05 (20, 3) ＝ 8.66 이다)

  요인제곱합자유도평균제곱F －값처리340F_0오차1,00020계

  1. 1. F_0 = 5/4 > 0.12 이므로 귀무가설을 기각함
  2. 2. F_0 = 5/4 < 8.66 이므로 귀무가설을 기각하지 못함
  3. 3. F_0 = 4/5 > 1/8.66 이므로 귀무가설을 기각함
  4. 4. F_0 = 4/5 < 1/0.32 이므로 귀무가설을 기각하지 못함

  정답 4번

  🔍 보기별 해설

  1. F₀ 는 처리의 평균제곱 40 을 오차의 평균제곱 1,000/20=50 으로 나눈 4/5 이므로 5/4 를 F₀ 로 쓴 이 방법은 값부터 옳지 않다.
  2. 5/4 는 F₀ 인 4/5 의 역수이므로 값이 어긋나고 5/4 와 견준 8.66 은 자유도가 (20, 3) 인 F 분포의 값이라 자유도 (3, 20) 검정의 기준이 될 수 없어 이 방법은 옳지 않다.
  3. F₀=4/5 는 맞지만 1/8.66 은 자유도 (3, 20) 의 아래쪽 5 % 지점이지 기각을 가르는 위쪽 5 % 지점이 아니며 1/8.66≈0.1155 는 문제에 0.12 로 반올림해 준 값이므로 4/5 를 이와 견줘 기각하는 이 방법은 옳지 않다.
  4. F₀=40/50=4/5 이고 F_0.05(3,20)=1/F_0.95(20,3)=1/0.32 인데 4/5 는 이보다 작으므로 귀무가설을 기각하지 못한다고 한 이 방법이 옳다(정답).

  🧮 풀이

  1. 甲은 F 값을 큰 평균제곱이 분자로 온다고 외운 학생이다. 처리 40 과 오차 50 중 처리가 분자라는 정의를 확인하지 않고 50/40 = 5/4 로 뒤집어 적었다가 4/5 로 바로잡았다.
  2. 甲은 자유도 (20, 3) 의 표를 그대로 옮겨 온 수험생이다. 분자가 처리라 (3, 20) 이어야 하고 그러면 위쪽 기준이 1/0.32 로 바뀐다는 점을 알고 8.66 과 견준 방법을 지웠다.
  3. 甲은 4/5 를 1/8.66 과 견주어 크다고 본 응시자다. 그 값은 아래쪽 꼬리의 기준이라 기각을 판정하는 위쪽 기준 1/0.32 = 3.125 와 견줘야 한다는 것을 알고 이 보기를 버렸다.
  4. 甲은 평균제곱 40 과 1,000/20=50 으로 F₀=4/5 를 구한 학생이다. 기각값 1/0.32=3.125 보다 작아 기각하지 못한다는 것을 대 보고 이 방법이 표와 맞는다고 표시했다.

  평균제곱은 처리가 40, 오차가 1,000÷20=50 이라 F₀=40/50=4/5 이고 기각역은 F_0.05(3,20)=1/F_0.95(20,3)=1/0.32 인데 4/5 가 이보다 작아 기각하지 못하므로 정답은 4번이다.

• 77

  모평균과 모분산 σ^2 이 알려지지 않은 정규모집단에서 추출한 13 개의 확률표본 X_1,X_2 ,…, X_13 의 표본분산을 S^2 이라 하자. 가설 H_0 : σ^2 ＝ 4 대 H_1 : σ^2 > 4 에 대한 검정에서 기각역으로 S^2 > 6 을 사용하고자 한다. 확률변수 V 는 자유도가 12 인 카이제곱분포를 따를 때, 이 검정에서 제 1 종 오류의 확률과 같은 것은?

  1. 1. P (V > 6)
  2. 2. P (V > 12)
  3. 3. P (V > 18)
  4. 4. P (V > 24)

  정답 3번

  🔍 보기별 해설

  1. 6 은 S² 의 기각 기준 그대로인데 V 는 (n−1)S²/σ² 로 바꿔야 하므로 기준을 6 그대로 쓴 P(V>6) 은 제1종 오류의 확률과 같지 않아 옳지 않다.
  2. 12 는 카이제곱분포의 자유도이지 기각 기준을 변환한 값이 아니라서 12×6/4=18 이 되어야 하므로 P(V>12) 는 제1종 오류의 확률과 같지 않아 옳지 않다.
  3. 귀무가설 아래 σ²=4 이면 V=12S²/4 가 자유도 12 인 카이제곱을 따르고 S²>6 은 V>12×6/4=18 과 같으므로 제1종 오류의 확률은 P(V>18) 이라 옳다(정답).
  4. 24 는 12×6/3 이라 σ²=4 대신 3 으로 나눈 값과 같아 σ²=4 를 쓴 변환 12×6/4=18 과 다르므로 P(V>24) 는 제1종 오류의 확률과 같지 않아 옳지 않다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 기각역 S²>6 의 6 을 카이제곱 변수에 그대로 옮긴 학생이다. 표본분산은 12 를 곱하고 σ²=4 로 나눠야 카이제곱 변수가 되므로 18 로 바뀐다는 것을 알아채고 이 보기를 지웠다.
  2. 甲은 자유도 12 를 눈에 띄는 대로 기각 기준으로 옮겨 적은 수험생이다. 12 는 분포의 자유도일 뿐이고 기준은 12×6/4=18 이라는 것을 식으로 확인하고 이 보기를 지웠다.
  3. 甲은 제1종 오류를 귀무가설 σ²=4 를 가정한 기각 확률로 푼 응시자다. V=12S²/4 로 바꿔 S²>6 이 V>18 과 같아진다는 것을 확인하고 이 보기를 골랐다.
  4. 甲은 12×6/σ² 의 σ² 자리에 3 을 넣어 24 를 얻은 학생이다. 귀무가설이 말하는 분산은 4 이므로 12×6/4=18 이 되어야 한다는 것을 짚고 이 보기를 후보에서 지웠다.

  S²>6 의 제1종 오류 확률은 σ²=4 일 때 V=12S²/4 가 자유도 12 인 카이제곱을 따르므로 S²>6 이 V>12×6/4=18 과 같아 P(V>18) 이라 정답은 3번이다.

• 78

  어떤 회사에서 생산하는 건전지의 평균 수명은 300 일이라고 알려져 있다. 이를 확인하기 위하여 건전지 15 개를 임의추출하여 구한 평균 수명(단위: 일)에 대한 95 % 신뢰구간은 (296, 308) 이었다. 귀무가설 “건전지의 평균 수명은 300 일이다.”와 대립가설 “건전지의 평균 수명은 300 일이 아니다.”에 대한 검정에서 t －검정통계량의 값과 같은 것은? (단, 건전지의 수명은 정규분포를 따른다고 하며, t(α) (k) 는 자유도가 k 인 t 분포의 제 100 × (1- α) 백분위수를 나타낸다)

  1. 1. {1 / 3} × t_0.025 (14)
  2. 2. {2 / 3} × t_0.025 (14)
  3. 3. t_0.025 (14)
  4. 4. {4 / 3} × t_0.025 (14)

  정답 1번

  🔍 보기별 해설

  1. 표본평균은 구간의 중심 302 이고 반폭 6 이 t_0.025(14)×SE 이므로 SE=6/t 이고 검정통계량 (302−300)/SE=2t/6=t/3 이라 이 값이 옳다(정답).
  2. 2/3×t 는 편차 2 를 SE=3/t 로 나눈 값과 같은데 반폭이 6 이라 SE 는 6/t 이므로 이 값은 t/3 의 두 배로 옳지 않다.
  3. t 그 자체는 편차 2 를 SE=2/t 로 나눈 값과 같은데 신뢰구간의 반폭 6 이 주는 SE 는 6/t 이므로 검정통계량은 t/3 이라 이 값은 옳지 않다.
  4. 4/3×t 는 편차 2 를 SE=1.5/t 로 나눈 값과 같아 반폭 6 이 아니라 1.5 를 쓴 셈이 되므로 검정통계량 t/3 과 다르고 이 값은 옳지 않다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 신뢰구간에서 표본평균 302 와 반폭 6 을 읽어 낸 학생이다. 반폭이 t 곱하기 표준오차라 SE=6/t 이고 편차 2 를 이것으로 나눠 t/3 을 얻었으며 이 값이 보기와 같다는 것을 확인했다.
  2. 甲은 표준오차를 3/t 로 두고 검정통계량을 편차 2 를 3/t 로 나눈 2t/3 으로 적은 수험생이다. 신뢰구간의 반폭은 6 이므로 표준오차는 6/t 이고 검정통계량은 t/3 이라는 것을 확인해 이 보기를 지웠다.
  3. 甲은 편차 2 와 반폭 6 을 견주다가 검정통계량이 t 와 같다고 본 응시자다. 그러려면 SE 가 2/t 여야 하는데 신뢰구간이 주는 SE 는 6/t 라는 것을 짚어 이 값을 버렸다.
  4. 甲은 4/3 배라는 값이 어디서 나오는지 역산해 본 학생이다. SE 를 1.5/t 로 두어야 나오는 값인데 실제 구간의 반폭은 6 이라 SE=6/t 라는 점에서 이 보기가 틀렸다는 것을 알았다.

  신뢰구간 (296, 308) 의 중심은 302 이고 반폭 6 이 t_0.025(14) 곱하기 표준오차이므로 표준오차는 6/t 이고 검정통계량은 (302−300)/(6/t)=t/3 이라 정답은 1번이다.

• 79

  정규분포 N (μ , σ^2) 을 따르는 모집단에서 추출한 25 개의 확률표본 X_1 ,…,X_25 의 표본평균을 X̄ 라고 하자. X_1 이 다음 조건을 만족한다. P (X_1 ≤ 4) + P (X_1 ≤ 6) = 1 , E (X_1^2) = 34 다음 중 옳은 것만을 모두 고르면?

  ㄱ. P (X̄ ≤ 4) = P (X̄ ≥ 6)

  ㄴ. P (X̄ ≥ 6) = P (X_1 ≥ 10)

  ㄷ. P (X_1 ≥ 8) + P (X̄ ≥ 4.4) = 1

  1. 1. ㄱ, ㄴ
  2. 2. ㄱ, ㄷ
  3. 3. ㄴ, ㄷ
  4. 4. ㄱ, ㄴ, ㄷ

  정답 4번

  🔍 보기별 해설

  1. ㄱ 과 ㄴ 은 옳지만 ㄷ 도 P(X₁≥8)=P(Z≥1) 과 P(X̄≥4.4)=P(Z≥−1) 의 합이 1 이라 옳은데 ㄷ 을 빠뜨렸으므로 ㄱ, ㄴ 만 고른 이 보기는 옳지 않다.
  2. ㄱ 과 ㄷ 은 옳지만 ㄴ 도 P(X̄≥6) 과 P(X₁≥10) 이 모두 P(Z≥5/3) 라 같아서 옳은데 이를 빠뜨렸으므로 ㄱ, ㄷ 만 고른 이 보기는 옳지 않다.
  3. ㄴ 과 ㄷ 은 옳지만 ㄱ 도 평균 5 를 중심으로 4 와 6 이 대칭이라 옳은데 이를 빠뜨렸으므로 ㄴ, ㄷ 만 고른 이 보기는 옳지 않다.
  4. 평균 5, 표준편차 3 이고 X̄ 의 표준편차는 0.6 이라 ㄱ 은 대칭, ㄴ 은 둘 다 Z=5/3, ㄷ 은 Z=1 과 −1 의 합이 1 이므로 셋이 모두 옳아 이 보기가 옳다(정답).

  🧮 풀이

  1. 甲은 세 진술을 표준화해 Z 값으로 바꿔 적은 학생이다. ㄱ 과 ㄴ 은 확인했지만 ㄷ 에서 P(X₁≥8) 은 Z=1 에서 P(X̄≥4.4) 는 Z=−1 로 합이 1 이 되는 것을 보지 못하고 ㄷ 을 틀렸다고 보았다.
  2. 甲은 ㄴ 에서 표본평균의 표준편차 0.6 을 표본 하나의 표준편차 3 으로 잘못 알아 Z 값이 다르다고 본 수험생이다. X̄ 는 3/5=0.6 이라 P(Z≥5/3) 로 같아짐을 다시 계산하고 ㄴ 을 옳다고 고쳤다.
  3. 甲은 ㄱ 에서 4 와 6 이 평균 5 에서 같은 거리라는 점을 놓친 응시자다. 조건 P(X₁≤4)+P(X₁≤6)=1 이 대칭을 뜻한다는 것을 짚고 평균이 5 라 X̄ 도 5 를 중심으로 대칭임을 확인해 ㄱ 도 옳다고 보았다.
  4. 甲은 평균 5, E(X₁²)=34 에서 분산 34−25=9 를 구하고 X̄ 의 표준편차 0.6 을 얻은 학생이다. 세 진술을 표준화해 모두 성립함을 확인하고 이 조합을 골랐다.

  P(X₁≤4)+P(X₁≤6)=1 은 4 와 6 이 평균 5 에 대칭이라는 뜻이고 E(X₁²)=34 에서 분산 9 이므로 표본평균의 표준편차는 0.6 이다. ㄱ, ㄴ, ㄷ 이 모두 옳아 정답은 4번이다.

• 80

  어느 극장에서 월요일부터 금요일까지 관람객 수의 비율이 1 : 1 : 1 : 1 : 2 인지를 검정하고자 평일 관람객 1,200 명을 조사하여 다음 표와 같이 정리했다. 요일월화수목금계관람객 수170210220a600-a1,200 카이제곱검정에서 a 의 값이 0 부터 600 까지 증가할 때, 유의확률에 대한 설명으로 옳은 것은?

  1. 1. 유의확률은 증가하다가 감소한다.
  2. 2. 유의확률은 감소하다가 증가한다.
  3. 3. 유의확률은 지속적으로 증가한다.
  4. 4. 유의확률은 지속적으로 감소한다.

  정답 1번

  🔍 보기별 해설

  1. 기대도수는 월∼목이 200 씩이고 금요일이 400 이라 통계량이 a=200 에서 최소 7 이고 양 끝에서 307 과 1207 로 커지므로 유의확률은 증가하다가 감소한다는 이 설명이 옳다(정답).
  2. 통계량이 a=200 에서 가장 작고 그때 유의확률이 가장 크므로 유의확률은 감소하다가 증가하는 것이 아니라 증가하다가 감소하므로 이 설명은 옳지 않다.
  3. a 가 200 을 넘으면 통계량이 7 에서 1207 까지 다시 커져 유의확률이 작아지므로 지속적으로 증가한다는 이 설명은 옳지 않다.
  4. a 가 200 이 될 때까지는 통계량이 307 에서 7 로 줄어 유의확률이 커지므로 지속적으로 감소한다는 이 설명은 옳지 않다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 a 를 0, 200, 600 에 넣어 통계량 307, 7, 1207 을 구한 학생이다. 통계량이 줄다 커지므로 유의확률은 거꾸로 커졌다 작아진다는 것을 확인하고 이 설명을 골랐다.
  2. 甲은 통계량이 줄었다가 늘어나는 모양을 유의확률의 모양으로 옮겨 적은 수험생이다. 통계량이 클수록 유의확률이 작아지는 반대 방향이라 그래프가 뒤집힌다는 것을 알고 이 보기를 지웠다.
  3. 甲은 a 가 200 까지 커질 때만 보고 유의확률이 계속 커진다고 적은 응시자다. 200 을 넘으면 금요일 관측도수가 400 에서 멀어져 통계량이 다시 커진다는 것을 셈해 이 설명을 지웠다.
  4. 甲은 유의확률이 처음부터 끝까지 내려간다고 적은 학생이다. a=0 은 한쪽으로 치우친 극단이지만 a=200 은 가설의 비율과 딱 맞는 지점이라 그 사이에서 값이 오른다는 것을 알고 버렸다.

  검정통계량은 a 가 0 에서 200 으로 늘 때 307 에서 7 로 줄고 200 에서 600 으로 늘 때 7 에서 1207 로 커져 a=200 에서 최소이며 유의확률은 그 반대로 증가하다가 감소하므로 정답은 1번이다.

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• 81

  다음 상자그림에 대한 설명으로 옳은 것만을 모두 고르면?

  ㄱ. 자료의 평균은 4 이다.

  ㄴ. 사분위수범위는 2 보다 크다.

  ㄷ. 2 이상이고 5 이하의 값을 갖는 자료는 전체의 50 % 이상이다.

  1. 1. ㄷ
  2. 2. ㄱ, ㄴ
  3. 3. ㄴ, ㄷ
  4. 4. ㄱ, ㄴ, ㄷ

  정답 3번

  🔍 보기별 해설

  1. ㄷ 은 옳지만 ㄴ 도 옳다. 제1사분위수가 약 2.6 이고 제3사분위수가 5 라서 사분위수범위가 약 2.4 로 2 보다 크므로, ㄷ 하나만 고른 이 보기는 빠뜨린 것이 있어 해당하지 않는다.
  2. ㄴ 은 옳지만 ㄱ 은 상자그림에 평균이 표시되어 있지 않고 가운데 선은 중앙값 4 를 뜻할 뿐이라 평균이 4 라고 말할 수 없으므로, ㄱ 을 넣은 이 보기는 해당하지 않는다.
  3. ㄴ 은 사분위수범위가 5 에서 약 2.6 을 뺀 2.4 로 2 보다 크고 ㄷ 은 2 이상 5 이하가 제1사분위수에서 제3사분위수까지의 50 % 를 모두 포함해 50 % 이상이라 옳으므로 이 보기가 해당한다(정답).
  4. ㄴ 과 ㄷ 은 옳지만 ㄱ 은 가운데 선의 값 4 를 평균으로 읽은 진술이고 평균은 그림에서 알 수 없으므로, 세 진술을 모두 고른 이 보기는 해당하지 않는다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 ㄷ 만 옳다고 보고 사분위수범위를 어림해 보지 않은 학생이다. 상자의 왼쪽 끝이 2.6 쯤이고 오른쪽 끝이 5 라서 상자의 폭이 2.4 로 2 보다 크다는 것을 눈금에서 읽고 ㄴ 도 옳다고 고쳤다.
  2. 甲은 상자 안의 굵은 세로선을 평균으로 본 수험생이다. 굵은 선은 중앙값을 나타내고 상자그림에는 평균이 그려지지 않는다는 것을 새겨, 4 라는 숫자만으로 평균을 4 라 하는 ㄱ 을 지웠다.
  3. 甲은 세 진술을 그림의 눈금에서 하나씩 읽어 가며 판정한 응시자다. 평균은 알 수 없고 사분위수범위는 2.4 쯤이며 2 에서 5 사이가 상자를 통째로 덮는다는 것을 확인해 ㄴ 과 ㄷ 만 골랐다.
  4. 甲은 세 진술이 모두 그림에 나온 숫자와 맞는다고 훑어보고 끝낸 학생이다. 다시 읽어 보니 가운데 선의 4 는 중앙값이어서 ㄱ 에서 걸린다는 것을 알았고 셋을 다 고르는 것이 틀렸다는 것을 확인했다.

  상자그림에는 평균이 나타나지 않으므로 ㄱ 은 알 수 없고, 제1사분위수 약 2.6 과 제3사분위수 5 에서 사분위수범위가 약 2.4 로 2 보다 크며(ㄴ), 2 이상 5 이하는 상자 전체를 덮어 50 % 이상이다(ㄷ). ㄴ 과 ㄷ 만 옳으므로 정답은 3번이다.

• 82

  다음 히스토그램에 대한 설명으로 옳지 않은 것은?

  1. 1. 평균은 중앙값보다 크다.
  2. 2. 자료의 범위는 50 이상이다.
  3. 3. 왜도(skewness)의 값은 양수이다.
  4. 4. 중앙값은 제1사분위수보다 제3사분위수에 더 가깝다.

  정답 4번

  🔍 보기별 해설

  1. 도수가 왼쪽 계급에 몰리고 오른쪽으로 긴 꼬리를 가지므로 계급값으로 어림한 평균은 약 28 이고 중앙값은 약 20 이라 평균이 중앙값보다 커서 이 보기는 옳다.
  2. 가장 작은 값은 10 이상 20 미만 계급에 있고 가장 큰 값은 70 이상 80 이하 계급에 있으므로 범위는 50 보다 커서 50 이상이 되어 이 보기는 옳다.
  3. 분포의 꼬리가 오른쪽으로 길게 늘어져 있어 큰 값 쪽으로 치우친 분포이고 이런 분포의 왜도는 양수이므로 이 보기는 옳다.
  4. 전체 50 개 가운데 26 개가 10 이상 20 미만 계급에 있어 중앙값은 그 첫 계급 안의 약 20 이고 제1사분위수는 약 15, 제3사분위수는 약 39 이므로 중앙값은 제1사분위수에 더 가까워 이 보기는 옳지 않다(정답).

  🧮 풀이

  1. 甲은 평균과 중앙값의 크기 순서를 꼬리 방향으로 판단한 학생이다. 오른쪽에 길게 늘어진 큰 값들이 평균을 끌어올려 평균이 중앙값을 넘는다는 것을 확인하고 이 진술을 옳다고 보았다.
  2. 甲은 범위를 계급의 폭이 아니라 그림의 양 끝으로 잰 수험생이다. 가장 작은 값은 20 미만이고 가장 큰 값은 70 을 넘는다는 것을 짚어 그 차이가 50 을 넘는다는 것을 확인하고 옳다고 판정했다.
  3. 甲은 왜도의 부호를 꼬리가 어느 쪽으로 긴지로 가른 응시자다. 막대가 왼쪽에서 높고 오른쪽으로 낮게 이어지는 모양이라 꼬리가 오른쪽이고, 그러면 왜도가 양수라는 것을 알아 이 진술을 옳다고 했다.
  4. 甲은 꼬리가 길면 중앙값이 분포의 한가운데 놓인다고 여겨 중앙값이 제3사분위수와 가깝다고 답한 학생이다. 도수 26 개가 첫 계급에 몰려 절반 지점이 첫 계급 안에 있다는 것을 세어 이 진술이 틀렸다는 것을 알았다.

  히스토그램은 오른쪽으로 긴 꼬리를 가져 평균이 중앙값보다 크고 왜도가 양수이며 범위는 50 보다 크다. 중앙값은 26 개가 몰린 첫 계급에 있어 제1사분위수에 더 가까우므로 4번이 옳지 않다.

• 83

  두 사건 A , B 가 서로 독립이고 P(A) ＝ 1/2 , P(B) ＝ 1/3 일 때, P(A cupB^C) 은?

  1. 1. {13 / 18}
  2. 2. {7 / 9}
  3. 3. {5 / 6}
  4. 4. {8 / 9}

  정답 3번

  🔍 보기별 해설

  1. 13/18 은 1 에서 5/18 을 뺀 값인데 실제로 1 에서 빼야 하는 것은 P(A^c)P(B) = 1/6 이므로 5/6 과 달라 해당하지 않는다.
  2. 7/9 는 1 에서 2/9 를 뺀 값인데 P(A^c)P(B) = (1/2)(1/3) = 1/6 이라 1 − 1/6 = 5/6 이고 7/9 와 다르므로 해당하지 않는다.
  3. 여사건으로 바꾸면 P(A ∪ B^c) = 1 − P(A^c ∩ B) 이고 독립이라 P(A^c)P(B) = (1/2)(1/3) = 1/6 이므로 1 − 1/6 = 5/6 이 되어 이 보기가 해당한다(정답).
  4. 8/9 는 1 에서 1/9 를 뺀 값인데 P(A^c)P(B) 는 1/6 이므로 1 − 1/6 = 5/6 이고 8/9 와 같지 않아 해당하지 않는다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 13/18 을 답으로 적은 학생이다. 합사건을 여사건으로 바꾸면 A 의 여집합과 B 가 함께 일어날 확률을 1 에서 빼야 하고 그 값이 1/6 이라는 것을 셈해 보니 13/18 이 나오지 않았다.
  2. 甲은 7/9 를 골랐다가 합사건의 확률을 다시 세워 본 수험생이다. P(A∪B^c) 는 여사건 A^c∩B 의 확률 1/6 을 1 에서 뺀 5/6 이라서, 1−2/9 로 만들어지는 7/9 는 이 값과 다르다는 것이 분명해졌다.
  3. 甲은 합사건의 확률을 바로 구하기 어려워 여사건으로 바꾼 응시자다. A 의 여집합과 B 가 독립이라 확률이 곱해져 1/6 이 되고 1 에서 빼면 5/6 이 된다는 것을 이끌어 냈다.
  4. 甲은 8/9 를 골라 놓고 식으로 확인하지 않은 학생이다. 독립인 두 사건의 여사건 곱이 (1/2)(1/3) = 1/6 이어서 그 여사건의 확률이 5/6 이라는 것을 셈하고 8/9 가 아님을 알았다.

  A 와 B 가 독립이면 A 의 여집합과 B 도 독립이다. A ∪ B^c 의 여사건은 A^c ∩ B 이므로 P(A ∪ B^c) = 1 − P(A^c)P(B) = 1 − (1/2)(1/3) = 5/6 이며 3번이 해당한다.

• 84

  확률변수 X , Y 와 Z , W 간의 관계가 다음과 같다. X 와 Y 의 분산이 각각 9 , 25 이고 Z 와 W 의 상관계수가 0.4 일 때, X 와 Y 의 공분산은?

  Z = 5X + 2 , W = 6Y + 5

  1. 1. 4
  2. 2. 6
  3. 3. 8
  4. 4. 10

  정답 2번

  🔍 보기별 해설

  1. 4 는 상관계수 0.4 와 표준편차의 곱 15 에서 나오지 않는 값이다. Cov(X, Y) = 0.4 × 3 × 5 = 6 이므로 4 는 해당하지 않는다.
  2. Z = 5X + 2 와 W = 6Y + 5 는 양의 배율이라 상관계수가 그대로 0.4 이고 표준편차가 3 과 5 이므로 Cov(X, Y) = 0.4 × 3 × 5 = 6 이 되어 이 보기가 해당한다(정답).
  3. 8 은 0.4 × 3 × 5 = 6 과 다른 값이다. 상관계수 0.4 에 두 표준편차 3 과 5 를 곱한 것이 공분산이므로 8 은 해당하지 않는다.
  4. 10 은 표준편차 3 과 5 에 상관계수 0.4 를 곱하면 나오는 6 과 같지 않다. 공분산은 0.4 × 3 × 5 = 6 이므로 10 은 해당하지 않는다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 공분산을 4 라고 적은 학생이다. 분산 9 와 25 를 그대로 쓰지 말고 제곱근을 취한 두 수에 상관계수를 곱해야 한다는 것을 새겨 다시 셈하자 6 이 나와 4 를 버렸다.
  2. 甲은 상수 2 와 5 는 상관계수에 영향이 없고 계수 5 와 6 이 양수라 부호가 뒤집히지 않는다는 것을 짚은 응시자다. X 와 Y 의 상관계수를 0.4 로 그대로 옮겨 표준편차 3 과 5 를 곱해 6 을 얻었다.
  3. 甲은 8 을 공분산으로 골랐다가 정의부터 다시 적어 본 수험생이다. 상관계수의 정의를 거꾸로 풀면 공분산이 그 계수와 표준편차 둘의 곱이 되어 값이 6 으로 떨어졌고 8 은 남지 않았다.
  4. 甲은 10 을 답으로 적은 학생이다. 분산 9 와 25 에서 표준편차 3 과 5 를 먼저 구하고 거기에 상관계수 0.4 를 곱해 보니 6 이 나와 10 이 공분산이 될 수 없음을 알았다.

  일차변환에서 양의 배율은 상관계수를 바꾸지 않으므로 X 와 Y 의 상관계수도 0.4 이고 Cov(X, Y) = 0.4 × 3 × 5 = 6 이다. 표준편차는 분산 9 와 25 의 양의 제곱근인 3 과 5 이므로 2번이 해당한다.

• 85

  자료 (x_i , y_i) (i = 1,2, ⋯ ,32) 에 단순선형회귀모형 y_i ＝ β_0 + β_1 x_i + ε_i 를 최소제곱법으로 적합하여 얻은 분산분석표의 일부가 다음과 같을 때, 추정된 회귀직선의 결정계수는? (단, ε_i 는 정규분포 N(0, σ^2) 을 따르고 서로 독립이다)

  요인제곱합자유도평균제곱F －값회귀12010잔차30계

  1. 1. {1 / 4}
  2. 2. {1 / 3}
  3. 3. {1 / 2}
  4. 4. {2 / 3}

  정답 1번

  🔍 보기별 해설

  1. 회귀제곱합 20 과 잔차제곱합 60 을 더한 총제곱합 80 으로 나누면 20/80 = 1/4 이 되어 이 보기가 결정계수이므로 해당한다(정답).
  2. 1/3 은 회귀제곱합 20 을 총제곱합 80 이 아니라 잔차제곱합 60 으로 나눈 값이다. 결정계수의 분모는 총제곱합이므로 1/3 은 해당하지 않는다.
  3. 1/2 은 회귀제곱합 20 을 총제곱합 80 으로 나눈 1/4 과 다른 값이다. 결정계수의 분자는 회귀제곱합이고 분모는 80 이므로 해당하지 않는다.
  4. 2/3 는 총제곱합 80 에 대한 회귀제곱합 20 의 몫 1/4 과 다르다. 잔차제곱합이 60 이라 총제곱합이 80 이라는 것을 쓰면 해당하지 않는다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 표의 빈칸을 F 값에서 거꾸로 채워 결정계수를 구한 응시자다. F 값 10 이 평균제곱의 비라는 것을 이용해 오차 평균제곱 2 와 잔차제곱합 60 을 얻고 20 을 80 으로 나눈 1/4 에 이르렀다.
  2. 甲은 결정계수의 분모를 잔차제곱합으로 잡은 학생이다. 결정계수는 총제곱합 중 회귀가 설명하는 몫이라는 것을 다시 읽고 분모를 60 이 아니라 80 으로 바꿔 1/3 이 아니라는 것을 확인했다.
  3. 甲은 1/2 을 고르고 빈칸을 다 채우지 않은 수험생이다. 회귀제곱합 20 과 잔차제곱합 60 을 구한 뒤 20 을 총제곱합 80 으로 나누어 1/4 이라는 것을 얻고 1/2 이 되지 않는다는 것을 알았다.
  4. 甲은 2/3 를 골랐다가 제곱합의 관계를 다시 세워 본 응시자다. 회귀 20 과 잔차 60 을 합쳐 총제곱합이 80 이므로 설명되는 몫이 1/4 에 그친다는 것을 새기고 2/3 를 버렸다.

  회귀 자유도 1 과 회귀 평균제곱 20 에서 회귀제곱합은 20 이고 F 값 10 으로 오차 평균제곱은 2 이므로 잔차제곱합은 2 × 30 = 60 이다. 총제곱합 80 에서 결정계수는 20/80 = 1/4 이므로 1번이 해당한다.

• 86

  어느 기관에서 성인 60 명을 임의추출한 후, 네 종류의 마스크 A , B , C , D 에 대한 선호도를 조사하여 다음과 같은 분할표를 얻었다. “마스크 종류에 따라 성인들의 선호도에 차이가 없다.”라는 귀무가설을 검정하기 위한 카이제곱 검정통계량의 값은?

  마스크ABCD계빈도2015101560

  1. 1. {7 / 3}
  2. 2. {8 / 3}
  3. 3. {10 / 3}
  4. 4. {11 / 3}

  정답 3번

  🔍 보기별 해설

  1. 7/3 은 (관측−기대)² 의 합 50 을 기대도수 15 로 나눈 10/3 과 다르다. 두 마스크 A, C 의 차이가 각각 5 이므로 7/3 은 해당하지 않는다.
  2. 8/3 은 A 와 C 에서 관측과 기대의 차이가 5 씩이라 제곱합이 50 이 되어 나오는 10/3 과 값이 다르므로 해당하지 않는다.
  3. 네 마스크의 기대도수가 모두 15 이고 관측 20, 15, 10, 15 의 차이가 5, 0, −5, 0 이라 25/15 + 0 + 25/15 + 0 = 10/3 이 되어 이 보기가 해당한다(정답).
  4. 11/3 은 차이의 제곱합 50 을 15 로 나눈 10/3 보다 크다. 15 를 기대도수로 잡고 A 와 C 만 5 씩 어긋난다는 것을 쓰면 해당하지 않는다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 7/3 을 검정통계량으로 적은 학생이다. 항마다 (관측−기대)²/기대를 셈하니 A 와 C 가 각각 5/3 이고 B 와 D 는 0 이라 합이 10/3 이 되어 7/3 이 아니라는 것이 분명해졌다.
  2. 甲은 귀무가설에서 기대도수를 어떻게 잡는지부터 따진 응시자다. 선호도에 차이가 없으면 네 마스크가 같은 빈도를 가진다는 것을 읽고 기대도수를 15 로 두어 8/3 이 되지 않는다는 것을 알았다.
  3. 甲은 관측도수가 기대도수 15 를 넘거나 밑도는 마스크만 골라 합한 수험생이다. A 와 C 의 항 25/15 두 개를 더하고 B 와 D 는 0 이라는 것을 확인해 10/3 을 답으로 골랐다.
  4. 甲은 11/3 을 골랐다가 나머지 항을 빠뜨리지 않았는지 다시 본 학생이다. 네 항의 합이 50/15 = 10/3 이라는 것을 셈해 11/3 이 그보다 크다는 것을 알고 버렸다.

  귀무가설에서 네 마스크의 기대도수는 60 을 4 로 나눈 15 로 같다. 검정통계량은 (20−15)²/15 + 0 + (10−15)²/15 + 0 = 50/15 = 10/3 이므로 3번이 해당한다.

• 87

  지난 1 년간 측정된 일별 풍속과 미세먼지에 대한 자료를 분석하려고 할 때, (가), (나)에 알맞은 방법을 바르게 연결한 것은? (단, 일별 자료는 서로 독립이라고 가정한다)

  (가) 풍속이 미세먼지 농도에 미치는 영향을 선형관계로 분석하고자 함 (나) 사계절에 따라 미세먼지 농도의 평균에 차이가 있는지를 검정하고자 함 (가) (나)

  1. 1. 상관분석 적합도검정
  2. 2. 회귀분석 분산분석
  3. 3. 회귀분석 적합도검정
  4. 4. t －검정 분산분석

  정답 2번

  🔍 보기별 해설

  1. 상관분석은 두 변수의 선형 관계의 세기만 나타내고 한쪽이 다른 쪽에 주는 영향을 식으로 세우지 않으며, 적합도검정은 분포가 가정에 맞는지 보는 것이라 (나)와 맞지 않아 해당하지 않는다.
  2. (가)는 풍속이 미세먼지에 주는 영향을 선형식으로 세우는 회귀분석이고 (나)는 네 계절의 평균 차이를 견주는 분산분석이라 이 짝이 (가), (나)에 모두 맞아 해당한다(정답).
  3. (가)는 회귀분석으로 맞지만 (나)는 계절별 평균이 같은지를 보는 문제이고 적합도검정은 관측도수가 기대 분포와 맞는지 보는 것이라 방법이 다르므로 해당하지 않는다.
  4. t-검정은 비교하는 집단이 둘일 때 쓰는데 (가)는 연속 변수 사이의 영향이라 회귀분석이 맞고, (나)의 분산분석은 옳지만 (가)가 어긋나므로 해당하지 않는다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 (가)를 두 변수의 관계라는 말만 보고 상관분석으로 고른 학생이다. 문제가 영향을 선형식으로 분석한다고 했으므로 설명변수를 두고 반응을 예측하는 회귀분석이라는 것을 짚었다.
  2. 甲은 (가)의 영향과 (나)의 평균 차이를 각각 묻는 물음으로 나누어 읽은 응시자다. 연속 변수 위의 영향은 회귀분석이고 네 계절 집단의 평균 비교는 분산분석이라는 것을 확인해 이 짝을 골랐다.
  3. 甲은 (나)를 분포가 맞는지 보는 검정으로 오해한 수험생이다. 계절마다 미세먼지 평균이 같은지를 묻는 것이라 집단의 평균을 견주는 분산분석이라는 것을 다시 읽고 이 짝이 틀렸다는 것을 알았다.
  4. 甲은 t-검정이 평균을 견주는 검정이라 (가)에 쓸 수 있다고 본 학생이다. t-검정은 집단이 둘일 때 쓰는 방법이고 (가)는 연속 변수의 영향이라 회귀분석이 맞다는 것을 짚어 이 보기를 버렸다.

  (가)는 풍속이라는 연속 설명변수가 미세먼지에 주는 영향을 선형식으로 보는 것이므로 회귀분석이고, (나)는 네 계절의 평균이 같은지를 견주는 것이므로 분산분석이다. 따라서 2번이 해당한다.

• 88

  이산확률변수 N 의 확률질량함수가 다음과 같을 때, E(N) + Var(N) 은? (단, c 는 상수이다)

  P(N = k) = c/(k!(10-k)!) (1/2)^10 , k = 0,1, ⋯ ,10, 0, 그 외

  1. 1. {13 / 2}
  2. 2. {15 / 2}
  3. 3. {17 / 2}
  4. 4. {19 / 2}

  정답 2번

  🔍 보기별 해설

  1. 13/2 는 평균 5 에 1.5 를 더한 값인데 분산은 np(1−p) = 2.5 이므로 5 와 2.5 를 더하면 15/2 이고 13/2 은 해당하지 않는다.
  2. 질량함수가 이항분포 C(10,k)(1/2)^10 과 비례하므로 평균은 np = 5 이고 분산은 np(1−p) = 5/2 라 E(N)+Var(N) = 5 + 5/2 = 15/2 가 되어 이 보기가 해당한다(정답).
  3. 17/2 는 평균 5 에 3.5 를 더한 값인데 이항분포 n=10, p=1/2 의 분산은 2.5 라서 합은 15/2 이므로 해당하지 않는다.
  4. 19/2 는 평균 5 에 4.5 를 더한 값이다. 이항분포의 분산은 np(1−p) = 2.5 이므로 평균과 분산의 합은 7.5 이고 19/2 는 해당하지 않는다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 13/2 를 고른 학생이다. 분산을 np(1−p) 로 셈하면 10 × 1/2 × 1/2 = 2.5 이고 평균 5 와 합하면 7.5 라서 13/2 이 아니라는 것을 확인했다.
  2. 甲은 상수 c 가 있어 분포를 모른다고 막힌 응시자다. 식을 k!(10−k)! 로 나눈 꼴이 이항계수에 비례한다는 것을 알아보고 n=10, p=1/2 인 이항분포로 읽어 평균 5 와 분산 5/2 를 얻었다.
  3. 甲은 17/2 를 답으로 적은 수험생이다. 이항분포의 분산은 평균에 (1−p) 를 곱한 2.5 이지 3.5 가 아니라는 것을 셈해 평균과의 합이 7.5 이므로 17/2 가 되지 않는다는 것을 알았다.
  4. 甲은 19/2 를 골랐다가 이항분포의 공식으로 다시 재어 본 학생이다. 평균 np = 5 와 분산 np(1−p) = 2.5 를 더하면 15/2 라는 것을 셈하고 19/2 를 버렸다.

  확률질량함수는 C(10,k)(1/2)^10 꼴이므로 N 은 n=10, p=1/2 인 이항분포를 따른다. E(N) = 10 × 1/2 = 5 이고 Var(N) = 10 × 1/2 × 1/2 = 5/2 이므로 E(N)+Var(N) = 15/2 이고 2번이 해당한다.

• 89

  어느 단체에서 고등학생의 평균 인터넷 사용 시간이 10 년 전보다 증가했는지를 검정하기 위해 고등학생 64 명을 임의추출하여 하루 인터넷 사용 시간을 조사한 결과 표본평균이 5.2 시간, 표본표준편차는 1 시간으로 나타났다. 10 년 전 고등학생의 하루 평균 인터넷 사용 시간이 5 시간이었을 때, 이 검정의 유의확률과 같은 것은? (단, Z 는 표준정규분포를 따르는 확률변수이다)

  1. 1. P(Z ≥ 1)
  2. 2. P(Z ≥ 1.6)
  3. 3. 2 × P(Z ≥ 1)
  4. 4. 2 × P (Z ≥ 1.6)

  정답 2번

  🔍 보기별 해설

  1. P(Z ≥ 1) 은 검정통계량이 1 일 때의 유의확률인데 표준오차가 1/8 이라 통계량은 0.2 를 1/8 로 나눈 1.6 이므로 해당하지 않는다.
  2. 표준오차가 표본표준편차 1 을 √64 = 8 로 나눈 1/8 이므로 통계량은 0.2 ÷ (1/8) = 1.6 이고 증가 여부를 묻는 단측 검정이라 유의확률은 P(Z ≥ 1.6) 이 되어 이 보기가 해당한다(정답).
  3. 2 × P(Z ≥ 1) 은 양측 검정에서 통계량이 1 일 때의 값이다. 이 검정은 증가만 묻는 단측이고 통계량도 1.6 이므로 해당하지 않는다.
  4. 2 × P(Z ≥ 1.6) 은 통계량 1.6 은 맞지만 양측 검정의 유의확률이다. 대립가설이 증가했는지 하나라 단측 검정이므로 이 값은 해당하지 않는다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 P(Z ≥ 1) 을 답으로 고른 학생이다. 표본평균과 5 의 차이 0.2 를 표준오차 1/8 로 나누어야 한다는 것을 셈하고 통계량이 1.6 이라 1 이 되지 않는다는 것이 분명해졌다.
  2. 甲은 표본이 64 명이라 표준오차가 표준편차를 8 로 나눈 값이라는 것을 짚은 응시자다. 통계량 1.6 을 얻고 증가를 묻는 단측 검정이므로 오른쪽 꼬리만 취해 이 보기를 골랐다.
  3. 甲은 통계량을 1 로 잡고 양측으로 두 배를 했다고 적은 수험생이다. 증가 여부만 묻는 단측이고 통계량이 1.6 이라는 것을 다시 읽고 두 가지가 모두 어긋난다는 것을 알았다.
  4. 甲은 통계량 1.6 까지는 맞게 구했지만 습관대로 확률을 두 배 한 학생이다. 대립가설이 μ 가 5 보다 크다는 한쪽이라서 유의확률에 2 를 곱하지 않는다는 것을 확인했다.

  대립가설이 증가했는지를 묻는 단측이므로 검정통계량은 (5.2 − 5)/(1/√64) = 1.6 이고 유의확률은 P(Z ≥ 1.6) 이다. 따라서 2번이 해당한다.

• 90

  이산확률변수 X 의 확률분포는 다음과 같다. E(X^2) ＝ 3/2 일 때, Var(X) 는?

  x 0 1 2 계 P(X = x) 1/4 ( ) ( ) 1

  1. 1. {1 / 4}
  2. 2. {1 / 2}
  3. 3. {3 / 4}
  4. 4. 1

  정답 2번

  🔍 보기별 해설

  1. 1/4 은 P(X=0) 의 값 1/4 과 같은 수일 뿐 분산이 아니다. 분산은 E(X²) − (E(X))² = 3/2 − 1 = 1/2 이므로 1/4 은 해당하지 않는다.
  2. a+b=3/4 과 a+4b=3/2 를 풀면 a=1/2, b=1/4 이라 E(X)=1 이고 Var(X)=E(X²)−(E(X))²=3/2−1=1/2 이므로 이 보기가 해당한다(정답).
  3. 3/4 은 P(X=1)+P(X=2) 의 합과 같은 수이지만 분산은 3/2 − 1 = 1/2 이다. 확률의 합이 분산이 아니므로 3/4 은 해당하지 않는다.
  4. 1 은 E(X) = 0×1/4 + 1×1/2 + 2×1/4 = 1 의 값이다. 분산은 E(X²) 3/2 에서 (E(X))² = 1 을 뺀 1/2 이라 평균을 그대로 적은 1 은 해당하지 않는다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 1/4 을 골라 놓고 빈칸의 확률을 제대로 채웠는지 다시 본 학생이다. P(X=1)=1/2, P(X=2)=1/4 이고 분산은 3/2 에서 평균의 제곱 1 을 뺀 1/2 이라는 것이 분명해졌다.
  2. 甲은 빈칸이 둘이라 식이 하나로 안 풀린다고 본 응시자다. 확률의 합이 1 이라는 식과 E(X²)=3/2 라는 식을 연립해 a=1/2, b=1/4 를 얻고 평균 1 을 구해 분산 1/2 에 이르렀다.
  3. 甲은 3/4 을 분산이라 적은 수험생이다. 3/4 은 P(X=1)+P(X=2) 의 값일 뿐이고 분산은 제곱의 평균에서 평균의 제곱을 빼야 한다는 것을 새겨 1/2 로 고쳤다.
  4. 甲은 E(X) 를 구해 놓고 분산이라 답한 학생이다. E(X)=1 은 평균이고 분산은 거기서 (E(X))² 를 E(X²)=3/2 에서 뺀 값이라는 것을 확인해 이 보기를 버렸다.

  P(X=1)=a, P(X=2)=b 라 하면 a+b=3/4 이고 E(X²)=a+4b=3/2 이므로 b=1/4, a=1/2 이다. E(X)=1/2+2/4=1 이고 Var(X)=3/2−1²=1/2 이므로 2번이 해당한다.

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• 91

  (가), (나)에 들어갈 내용을 바르게 연결한 것은?

  학생 100 명 중 무작위로 선택된 50 명에게는 교수법 Ⅰ을, 나머지 50명에게는 교수법 II를 적용한 후, 평가 결과를 4 개 등급으로 나눈 표가 다음과 같다. 등급 교수법ABCD계I1311161050II911141650 “두 교수법의 효과가 동일하다.”라는 귀무가설을 검정하기 위해 계산된 카이제곱 검정통계량의 값은 2.25 이다. 유의수준 α ＝ 0.05 에서 검정할 때, 검정통계량의 값이 (가) 보다 작으므로 두 교수법의 효과에 차이가 (나) . (단, χ_α^2 (k) 는 자유도가 k 인 카이제곱분포의 제 100 × (1-α) 백분위수를 나타내고, χ(0.05)^2 (3) = 7.81 , χ(0.05)^2 (7) = 14.07 이다) (가) (나)

  1. 1. 7.81 없다
  2. 2. 7.81 있다
  3. 3. 14.07 없다
  4. 4. 14.07 있다

  정답 1번

  🔍 보기별 해설

  1. 자유도가 (2−1)(4−1)=3 이라 경계는 7.81 이고 검정통계량 2.25 가 그보다 작아 귀무가설을 기각하지 못하므로 효과에 차이가 없다고 보아 이 보기가 해당한다(정답).
  2. 경계 7.81 은 맞지만 2.25 는 7.81 보다 작아 귀무가설을 기각하지 못한다. 그러면 두 교수법의 효과에 차이가 있다고 할 수 없으므로 (나)가 있다인 이 보기는 해당하지 않는다.
  3. 14.07 은 칸이 8 개일 때 8−1=7 로 잡은 적합도검정의 자유도에서 나온 값이다. 독립성·동질성 검정의 자유도는 (2−1)(4−1)=3 이라 경계가 7.81 이므로 해당하지 않는다.
  4. 자유도를 7 로 잡아 14.07 을 택한 것부터 어긋난다. 분할표의 자유도는 3 이라 경계가 7.81 이고 2.25 가 작아 차이가 없다고 해야 하므로 이 보기는 해당하지 않는다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 2×4 표의 자유도를 (행의 수−1)(열의 수−1) 로 셈해 3 을 얻은 학생이다. 표에서 자유도 3 의 값 7.81 을 읽고 2.25 가 그보다 작아 차이가 없다는 것을 확인해 이 보기를 골랐다.
  2. 甲은 경계 7.81 은 맞게 골랐지만 결론을 거꾸로 적은 수험생이다. 검정통계량이 경계보다 작으면 귀무가설을 기각하지 못하고 차이가 있다고 할 근거가 없다는 것을 다시 읽어 (나)를 고쳤다.
  3. 甲은 표의 칸이 8 개라 자유도를 7 로 잡은 응시자다. 행과 열의 합이 정해져 있어 자유도가 (2−1)(4−1)=3 이라는 것을 짚어 14.07 을 쓰지 않아야 한다는 것을 알았다.
  4. 甲은 자유도를 8 칸에서 1 을 뺀 7 이라 보고 차이가 있다고 결론지은 학생이다. 자유도가 3 이라는 것과 2.25 가 7.81 보다 작다는 것을 둘 다 짚어 두 자리가 모두 틀렸다는 것을 확인했다.

  2×4 분할표의 자유도는 (2−1)(4−1)=3 이므로 기각역의 경계는 χ²_0.05(3)=7.81 이다. 검정통계량 2.25 는 7.81 보다 작아 귀무가설을 기각하지 못하므로 효과에 차이가 없다고 볼 수 있고 1번이 해당한다.

• 92

  서로 독립인 두 확률변수 X , Y 가 표준정규분포를 따른다고 할 때, 옳은 것만을 모두 고르면? (단, 확률변수 Z 가 표준정규분포를 따를 때 P(Z ≥ 0.6) = 0.2743 , P(Z ≤ 1) = 0.8413 이다)

  ㄱ. E (X^2 Y^2) = 1

  ㄴ. Cov(X, Y) = 0

  ㄷ. P (-3 ≤ 3X-4Y ≤ 5) = 0.5670

  1. 1. ㄱ, ㄴ
  2. 2. ㄱ, ㄷ
  3. 3. ㄴ, ㄷ
  4. 4. ㄱ, ㄴ, ㄷ

  정답 4번

  🔍 보기별 해설

  1. ㄱ 과 ㄴ 은 옳지만 ㄷ 도 3X−4Y 의 표준편차가 5 라 P(−0.6 ≤ Z ≤ 1)=0.5670 이 되어 옳으므로 ㄷ 을 빠뜨린 이 보기는 해당하지 않는다.
  2. ㄱ 과 ㄷ 은 옳지만 ㄴ 도 독립인 두 확률변수의 공분산이 0 이라는 성질에 따라 옳으므로 ㄴ 을 뺀 이 보기는 해당하지 않는다.
  3. ㄴ 과 ㄷ 은 옳지만 ㄱ 도 독립이면 E(X²Y²)=E(X²)E(Y²)=1×1=1 이 되어 옳으므로 ㄱ 을 뺀 이 보기는 해당하지 않는다.
  4. ㄱ 은 E(X²)E(Y²)=1, ㄴ 은 독립이라 공분산 0, ㄷ 은 3X−4Y 가 평균 0 분산 25 인 정규분포라 0.8413−0.2743=0.5670 이므로 셋 모두 옳아 이 보기가 해당한다(정답).

  🧮 풀이

  1. 甲은 ㄷ 의 확률을 표준화하는 것이 번거로워 넘긴 학생이다. 3X−4Y 의 분산이 9+16=25 라서 표준편차 5 로 나눈 구간이 −0.6 에서 1 이 된다는 것을 계산해 ㄷ 도 옳다는 것이 분명해졌다.
  2. 甲은 독립이면 공분산이 0 이라는 것을 떠올리지 못해 ㄴ 을 지운 수험생이다. 독립이면 E(XY)=E(X)E(Y) 라서 공분산이 0 이 된다는 것을 짚고 ㄴ 을 넣어야 한다는 것을 알았다.
  3. 甲은 E(X²Y²) 를 셈하려다 X 와 Y 를 따로 다루지 못한 응시자다. 독립이라 곱의 기댓값이 기댓값의 곱이 되고 E(X²)=Var(X)=1 이므로 ㄱ 도 1 이 된다는 것을 확인했다.
  4. 甲은 세 진술을 각각 셈으로 판정한 학생이다. ㄱ 은 1, ㄴ 은 0, ㄷ 은 0.8413 에서 0.2743 을 뺀 0.5670 이 나와 모두 옳다는 것을 확인하고 셋을 다 고른 4번을 답으로 했다.

  ㄱ 은 독립이라 E(X²Y²)=E(X²)E(Y²)=1 이고 ㄴ 은 독립이라 공분산이 0 이며, ㄷ 은 3X−4Y 가 N(0, 25) 를 따라 P(−0.6 ≤ Z ≤ 1)=0.8413−0.2743=0.5670 이다. 셋 다 옳으므로 정답은 4번이다.

• 93

  어느 제품의 무게는 표준편차가 2 인 정규분포를 따른다고 한다. 임의추출한 n 개 제품 무게의 표본평균을 X̄ , 모집단의 평균을 μ 라고 할 때, P (| X̄ - μ | ≤ 0.2) ≥ 0.9544 를 만족하는 n 의 최솟값은? (단, 확률변수 Z 가 표준정규분포를 따를 때 P(|Z | ≤ 2) = 0.9544 이다)

  1. 1. 64
  2. 2. 100
  3. 3. 225
  4. 4. 400

  정답 4번

  🔍 보기별 해설

  1. n=64 이면 표준편차가 2/8=0.25 라 |Z| ≤ 0.8 이고 그 확률은 약 0.576 으로 0.9544 에 못 미치므로 최솟값의 조건을 만족하지 못해 해당하지 않는다.
  2. n=100 이면 표준편차가 0.2 라 |Z| ≤ 1 이고 그 확률은 약 0.683 으로 0.9544 에 못 미치므로 이 보기는 해당하지 않는다.
  3. n=225 이면 표준편차가 2/15 라 |Z| ≤ 1.5 이고 그 확률은 약 0.866 으로 0.9544 에 못 미치므로 이 보기는 해당하지 않는다.
  4. n=400 이면 표준편차가 2/20=0.1 이라 0.2 는 2 표준편차이고 P(|Z| ≤ 2)=0.9544 이므로 조건을 정확히 만족하는 최소의 n 이 되어 이 보기가 해당한다(정답).

  🧮 풀이

  1. 甲은 n=64 를 고른 학생이다. 표본평균의 표준편차가 2/8=0.25 이고 0.2 는 0.8 표준편차에 불과해 확률이 약 0.576 에 머문다는 것을 셈하고 0.9544 에 못 미친다는 것이 분명해졌다.
  2. 甲은 n=100 이면 표준편차가 0.2 로 딱 떨어진다고 본 수험생이다. 오차 0.2 가 1 표준편차라 확률이 0.683 정도이고 2 표준편차는 되어야 0.9544 라는 것을 짚어 부족하다는 것을 알았다.
  3. 甲은 n=225 를 골랐다가 확률표를 다시 찾아본 응시자다. 0.2 가 1.5 표준편차에 해당해 확률이 약 0.866 에 그치므로 0.9544 에 이르지 못한다는 것을 알고 더 큰 n 으로 옮겨 갔다.
  4. 甲은 0.2 가 표본평균의 표준편차의 2 배가 되도록 n 을 잡은 학생이다. 2/√n 의 2 배가 0.2 라서 √n=20 이고 n=400 이 된다는 것을 풀어 이 보기를 답으로 했다.

  정규분포의 표본평균은 표준편차가 2/√n 이므로 P(|X̄−μ| ≤ 0.2)=P(|Z| ≤ 0.2√n/2) 이고 이것이 0.9544 이상이려면 0.1√n ≥ 2 이어야 한다. 따라서 √n ≥ 20 이라 n 의 최솟값은 400 이며 4번이 해당한다.

• 94

  단순선형회귀모형에서 기울기에 대한 100(1-α) % 신뢰구간을 설명한 것으로 옳은 것은?

  1. 1. 기울기의 추정값이 커지면 신뢰구간의 폭이 넓어진다.
  2. 2. α(0 < α < 1) 의 값이 커지면 신뢰구간의 폭이 넓어진다.
  3. 3. 평균제곱오차( MSE )의 값이 커지면 신뢰구간의 폭이 넓어진다.
  4. 4. 독립변수의 편차의 제곱합이 커지면 신뢰구간의 폭이 넓어진다.

  정답 3번

  🔍 보기별 해설

  1. 신뢰구간의 폭은 t 값과 표준오차로 정해지고 기울기의 추정값은 구간의 가운데를 옮길 뿐 폭에는 들어가지 않으므로 이 보기는 해당하지 않는다.
  2. α 가 커지면 신뢰수준 100(1−α)% 가 낮아져 t 값이 작아지고 구간이 오히려 좁아지므로 신뢰구간의 폭이 넓어진다는 이 보기는 해당하지 않는다.
  3. 폭은 t 값 곱하기 √(MSE/Sxx) 라서 평균제곱오차 MSE 가 커지면 표준오차가 커져 신뢰구간의 폭이 넓어지므로 이 보기가 해당한다(정답).
  4. 표준오차가 √(MSE/Sxx) 이므로 독립변수의 편차제곱합 Sxx 가 커지면 표준오차가 작아져 폭이 좁아지므로 넓어진다는 이 보기는 해당하지 않는다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 기울기가 클수록 추정이 불안정하다고 본 학생이다. 신뢰구간의 폭은 추정값이 아니라 t 값과 표준오차로 정해지고 추정값은 구간의 중심만 옮긴다는 것을 짚어 이 진술이 틀렸다는 것을 알았다.
  2. 甲은 α 가 커지면 신뢰구간도 커진다고 외운 수험생이다. α 가 커지면 신뢰수준이 낮아져 t 값이 작아지고 구간이 좁아진다는 것을 대소로 확인해 이 진술을 버렸다.
  3. 甲은 구간 폭의 식 t 값 × √(MSE/Sxx) 를 세우고 각 진술을 대입해 본 응시자다. MSE 가 분자에 있으므로 MSE 가 커지면 폭이 넓어진다는 것을 확인해 이 보기를 답으로 골랐다.
  4. 甲은 자료가 퍼져 있으면 오차가 커진다고 본 학생이다. 독립변수의 편차제곱합이 커질수록 기울기의 표준오차 √(MSE/Sxx) 가 작아져 구간이 좁아진다는 것을 다시 셈해 이 진술을 지웠다.

  평균제곱오차 MSE 가 커지면 기울기의 표준오차 √(MSE/Sxx) 가 커져서 신뢰구간의 폭이 넓어지므로 3번이 해당한다. 추정값은 폭에 들어가지 않고 α 나 Sxx 가 커지면 폭이 좁아진다.

• 95

  다음과 같은 일원배치 분산분석표에 대한 설명으로 옳지 않은 것은?

  요인제곱합자유도평균제곱F －값p －값처리SSA(가)MSA(다)(라)오차SSE(나)MSE계SST

  1. 1. 처리의 수가 3 일 경우 (가)의 값은 2 이다.
  2. 2. 전체 자료의 수가 25 이고 처리의 수가 3 일 때, (나)의 값은 22 이다.
  3. 3. (다)는 SSA × (나) SSE × (가) 이다.
  4. 4. 확률변수 X 가 분자와 분모의 자유도가 각각 (가), (나)인 F 분포를 따를 때, (라)는 P(X < (다)) 이다.

  정답 4번

  🔍 보기별 해설

  1. 처리의 수가 3 이면 처리의 자유도 (가)는 처리 수에서 1 을 뺀 2 가 되고 문제의 값과 같으므로 이 보기는 옳다.
  2. 전체 자료가 25 개이면 계의 자유도는 24 이고 처리 자유도가 2 이므로 오차의 자유도 (나)는 24−2=22 가 되어 이 보기는 옳다.
  3. F 값 (다)는 평균제곱의 비 MSA/MSE 이고 MSA=SSA/(가), MSE=SSE/(나) 이므로 SSA×(나) 를 SSE×(가) 로 나눈 꼴이 되어 이 보기는 옳다.
  4. p 값 (라)는 귀무가설 아래에서 F 값 (다)보다 크거나 같은 값이 나올 확률이므로 P(X > (다)) 여야 하는데 P(X < (다)) 라고 적었으므로 이 보기는 옳지 않다(정답).

  🧮 풀이

  1. 甲은 처리의 자유도를 처리 수에서 1 을 빼 셈하는 학생이다. 처리가 3 개면 (가)가 2 라는 것을 바로 알아보고, 이 진술이 표와 어긋나지 않아 옳다고 보아 넘어갔다.
  2. 甲은 표에 빈칸이 많아도 자유도의 합이 계라는 것으로 채운 수험생이다. 자료 25 개면 계의 자유도가 24 이고 처리 2 를 빼 22 가 남아 (나)가 22 라는 것을 확인했다.
  3. 甲은 (다)를 정의대로 풀어 쓴 응시자다. 평균제곱을 제곱합에서 자유도로 나눈 값으로 바꾸어 MSA/MSE 를 SSA×(나)/(SSE×(가)) 로 정리해 세 번째 진술이 옳다는 것이 분명해졌다.
  4. 甲은 p 값을 F 값보다 작은 쪽의 확률이라고 적은 학생이다. F 값이 클수록 귀무가설에 불리하므로 p 값은 큰 쪽 꼬리 확률이라는 것을 새겨 이 진술이 옳지 않다는 것을 알았다.

  p 값 (라)는 귀무가설 아래에서 F 값 (다)보다 큰 값이 나올 확률 P(X > (다)) 여야 하는데 4번은 P(X < (다)) 라고 적었으므로 4번이 옳지 않다.

• 96

  다음 그림은 모평균 μ 에 대한 가설 H_0 : μ = μ_0 대 H_1 : μ < μ_0 의 검정에서, 모평균이 μ 일 때 귀무가설을 기각할 확률( γ(μ) )을 나타낸다. 제1종 오류를 범할 확률과 μ = μ_1 에서 제2종 오류를 범할 확률을 바르게 연결한 것은? (단, μ_1 < μ_0 이다)

  제1종 오류를 범할 확률 제2종 오류를 범할 확률

  1. 1. 0.1 0.2
  2. 2. 0.1 0.8
  3. 3. 0.2 0.1
  4. 4. 0.2 0.9

  정답 1번

  🔍 보기별 해설

  1. 제1종 오류는 그래프에서 μ0 의 높이 0.1 이고 μ1 에서 제2종 오류는 기각하지 못할 확률 1−0.8=0.2 이므로 이 조합이 바르게 연결되어 해당한다(정답).
  2. 제1종 오류 0.1 은 맞지만 0.8 은 μ1 에서 귀무가설을 기각할 확률, 곧 검정력이다. 제2종 오류는 1−0.8=0.2 이므로 해당하지 않는다.
  3. μ0 에서의 높이 0.1 은 제1종 오류이고 0.2 는 제2종 오류의 값인데, 이 보기는 두 값을 서로 바꾸어 적었으므로 해당하지 않는다.
  4. 제1종 오류가 0.2 이고 제2종 오류가 0.9 라는 이 보기는 그래프의 0.1 과 0.8 어느 쪽과도 맞지 않는다. 제1종은 0.1 이고 제2종은 0.2 이므로 해당하지 않는다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 곡선의 높이를 μ0 와 μ1 에서 각각 읽은 학생이다. μ0 에서 0.1 이 제1종 오류이고 μ1 에서 0.8 은 기각할 확률이라 1 에서 뺀 0.2 가 제2종 오류라는 것을 짚어 1번을 답으로 했다.
  2. 甲은 μ1 에서의 높이 0.8 을 제2종 오류로 적은 수험생이다. γ(μ) 는 귀무가설을 기각할 확률이므로 기각하지 못하는 오류는 1 에서 뺀 0.2 라는 것을 확인해 이 보기를 버렸다.
  3. 甲은 제1종과 제2종의 값을 어느 점에서 읽는지 헷갈린 응시자다. 제1종은 μ0 에서 0.1 이고 제2종은 μ1 에서 0.2 인데 두 값이 자리를 바꿔 적혔다는 것을 대조해 이 보기를 지웠다.
  4. 甲은 0.2 와 0.9 를 곡선 어디서도 읽지 못하고 고른 학생이다. 그래프에는 0.1 과 0.8 만 있고 제1종이 0.1, 제2종이 1−0.8=0.2 라는 것을 확인해 이 보기가 틀렸다는 것을 알았다.

  제1종 오류의 확률은 귀무가설의 경계 μ=μ0 에서 기각할 확률 γ(μ0)=0.1 이다. μ=μ1 에서 제2종 오류의 확률은 1−γ(μ1)=1−0.8=0.2 이므로 1번이 해당한다.

• 97

  다음은 자료 (x_1i , x_2i , y_i) (i = 1,2,⋯,12) 에 다중선형회귀모형 y_i ＝ β_0 + β_1 x_1i + β_2 x_2i + ε_i 를 최소제곱법으로 적합하여 얻은 결과이다. 귀무가설 H_0 : β_1 = β_2 = 0 을 검정할 때, 유의확률이 포함되는 구간은? (단, ε_i 는 정규분포 N(0, σ^2) 을 따르고 서로 독립이며, F_α (k_1 , k_2) 는 분자와 분모의 자유도가 각각 k_1 , k_2 인 F 분포의 제 100 × (1-α) 백분위수를 나타내고, F_0.1 (2 , 9) = 3.01 , F_0.05 (2 , 9) = 4.26 , F(0.01) (2, 9) = 8.02 이다)

  Σ(i = 1~12) (y_i -ȳ)^2 = 180 , Σ(i = 1~12) (y_i - ŷ_i)^2 = 54 (단, ŷ_i 은 y_i 의 적합값이다)

  1. 1. (0, 0.01)
  2. 2. (0.01, 0.05)
  3. 3. (0.05, 0.1)
  4. 4. (0.1, 1)

  정답 1번

  🔍 보기별 해설

  1. 회귀제곱합 126 을 자유도 2 로, 잔차제곱합 54 를 자유도 9 로 나눈 F=10.5 가 F_0.01(2, 9)=8.02 를 넘어 유의확률이 (0, 0.01) 에 속하므로 이 보기가 해당한다(정답).
  2. (0.01, 0.05) 는 F 가 4.26 과 8.02 사이일 때의 구간인데 F=10.5 는 8.02 를 넘으므로 유의확률이 0.01 보다 작아 해당하지 않는다.
  3. (0.05, 0.1) 은 F 가 3.01 과 4.26 사이일 때의 구간인데 F=10.5 는 그보다 훨씬 커서 유의확률이 0.01 미만이므로 해당하지 않는다.
  4. (0.1, 1) 은 F 가 3.01 보다 작을 때의 구간인데 F=10.5 는 3.01 을 훌쩍 넘어 귀무가설을 기각하므로 유의확률이 0.1 을 넘지 않아 해당하지 않는다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 회귀제곱합을 총제곱합에서 잔차제곱합을 빼 126 으로 구한 학생이다. 자유도 2 와 9 로 나눈 평균제곱의 비가 10.5 이고 8.02 를 넘어 유의확률이 0.01 보다 작다는 것을 확인했다.
  2. 甲은 통계량 10.5 를 얻고도 임계값을 잘못 읽어 (0.01, 0.05) 를 고른 수험생이다. 4.26 은 5 % 의 경계이고 8.02 는 1 % 의 경계라서, 8.02 를 넘는 통계량은 더 작은 구간에 든다는 것을 알았다.
  3. 甲은 3.01 과 4.26 의 사이에서 유의확률을 찾은 응시자다. F 값이 10.5 이면 세 임계값 3.01, 4.26, 8.02 를 모두 넘어 가장 작은 구간에 든다는 것을 짚어 (0.05, 0.1) 이 아님을 알았다.
  4. 甲은 (0.1, 1) 이 귀무가설을 유지하는 구간이라는 것부터 확인한 학생이다. F=10.5 는 10% 경계 3.01 을 크게 넘어 귀무가설을 기각하는 쪽이라는 것을 짚어 이 보기를 버렸다.

  회귀제곱합은 180−54=126 이고 F=(126/2)/(54/9)=63/6=10.5 이다. F_0.01(2, 9)=8.02 보다 크므로 유의확률은 0.01 보다 작아 1번이 해당한다.

• 98

  각 수준조합에서의 반복수가 일정한 이원배치법으로부터 얻은 분산분석표의 일부가 다음과 같을 때, 옳은 것은?

  요인제곱합자유도평균제곱F －값p －값인자 A310.08310.0810.850.017인자 B42.0021.000.730.518교호작용 A × B57.332.010.215오차28.58계638.2511

  1. 1. 인자 A 의 수준수는 3 이다.
  2. 2. 인자 B 의 제곱합의 자유도는 3 이다.
  3. 3. 각 수준조합에서의 반복수는 4 이다.
  4. 4. 교호작용 A × B 는 유의수준 5 %에서 유의하지 않다.

  정답 4번

  🔍 보기별 해설

  1. A 의 제곱합 310.08 이 평균제곱 310.08 과 같아 자유도가 1 이므로 수준수는 자유도 1 에 1 을 더한 2 이지 3 이 아니라서 이 보기는 해당하지 않는다.
  2. B 의 자유도는 제곱합 42.00 을 평균제곱 21.00 으로 나눈 2 이고 수준수 3 에서 1 을 뺀 값이므로 3 이라는 이 보기는 해당하지 않는다.
  3. 총자유도 11 에서 A 의 1, B 의 2, 교호작용의 2 를 뺀 오차 자유도가 6 이고 수준조합이 6 개라 반복수는 2 이므로 4 라는 이 보기는 해당하지 않는다.
  4. 교호작용 A×B 의 p 값 0.215 는 유의수준 0.05 보다 커서 귀무가설을 기각하지 못하므로 유의하지 않다는 이 보기가 해당한다(정답).

  🧮 풀이

  1. 甲은 인자 A 의 수준수를 3 으로 적은 학생이다. 평균제곱이 제곱합 그대로라면 나눈 수가 1 이었다는 뜻이고 그 수는 수준수보다 하나 작으니 수준수가 2 라는 것을 알아 3 을 지웠다.
  2. 甲은 인자 B 의 자유도를 수준수와 같게 3 으로 본 수험생이다. 42.00 을 21.00 으로 나눈 값이 2 이고 자유도는 수준수에서 1 을 뺀다는 것을 다시 읽어 이 보기가 틀렸다는 것을 알았다.
  3. 甲은 반복수를 4 라고 답한 응시자다. 총자유도 11 에서 인자와 교호작용 자유도를 빼 오차 자유도 6 을 얻고, 여섯 수준조합마다 반복 2 번이라는 것을 확인해 4 가 아님을 알았다.
  4. 甲은 표의 p 값 열을 유의수준 5% 와 견주어 한 줄씩 읽은 학생이다. 인자 A 만 0.05 아래이고 교호작용의 0.215 는 0.05 를 넘어 유의하지 않다는 것을 읽고 이 보기를 답으로 했다.

  교호작용 A×B 의 p 값 0.215 는 유의수준 0.05 보다 커서 귀무가설을 기각하지 못하므로 유의하지 않아 4번이 해당한다. 수준수와 반복수는 자유도를 채워 보면 각각 2, 3, 2 이다.

• 99

  모분산이 알려진 정규분포를 따르는 모집단에서 임의추출한 표본으로부터 구한 모평균 μ 에 대한 95 % 신뢰구간이 (90, 110) 일 때, 옳지 않은 것은?

  1. 1. 표본평균 x̄ 는 100 이다.
  2. 2. 95 % 신뢰수준에서 x̄ 의 오차한계는 10 이다.
  3. 3. 모평균 μ 가 구간 (90, 110) 에 포함될 확률은 0.95 이다.
  4. 4. 가설 H_0 : μ = 98 대 H_1 : μ ≠ 98 을 유의수준 5 %에서 검정할 때, 귀무가설을 기각하지 못한다.

  정답 3번

  🔍 보기별 해설

  1. 모평균을 알 때 신뢰구간의 가운데가 표본평균이므로 x̄=(90+110)/2=100 이 되어 이 보기는 옳다.
  2. 표본평균 100 에서 구간의 끝 110 까지의 거리 10 이 오차한계이므로 95% 신뢰수준에서 오차한계는 10 이 되어 이 보기는 옳다.
  3. 모평균은 정해진 미지의 상수이고 이미 구한 구간 (90, 110) 은 모평균을 포함하거나 하지 않거나 둘 중 하나이므로, 그 안에 있을 확률이 0.95 라는 이 보기는 옳지 않다(정답).
  4. 귀무가설의 값 98 이 95% 신뢰구간 (90, 110) 안에 있으므로 유의수준 5% 의 양측검정에서 귀무가설을 기각하지 못하여 이 보기는 옳다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 신뢰구간의 가운데가 표본평균이라는 것을 이용한 학생이다. 90 과 110 을 더해 둘로 나눈 중점이 100 이라는 것을 셈하고 이 진술이 옳아 답이 아니라고 보았다.
  2. 甲은 오차한계를 구간 전체의 길이로 잘못 잡을 뻔한 수험생이다. 오차한계는 가운데에서 한쪽 끝까지의 거리라는 것을 새겨 10 이 맞다는 것을 확인하고 이 진술을 옳다고 보았다.
  3. 甲은 신뢰구간이 모평균을 포함할 확률이 95% 라고 답한 응시자다. 표본이 정해진 뒤의 구간은 모평균을 포함하거나 않거나 둘 중 하나여서 그 확률을 말할 수 없다는 것을 짚어 이 진술이 옳지 않다는 것을 알았다.
  4. 甲은 신뢰구간과 가설검정이 같은 뜻이라는 것을 아는 학생이다. 98 이 (90, 110) 안에 있으면 5% 유의수준에서 기각되지 않는다는 것을 이용해 이 진술이 옳다고 판정했다.

  신뢰구간은 표본으로 구해진 뒤에는 고정된 수 구간이라 모평균이 그 안에 있을 확률이 0.95 라고 말하지 못하고 95% 는 구간을 만드는 방법의 성질이다. 따라서 3번이 옳지 않다.

• 100

  두 이산확률변수 X 와 Y 의 결합확률분포가 다음과 같을 때, X^2 과 Y^2 의 공분산은?

  <div class="tbl-wrap"><table class="jtbl"><thead><tr><th>Y X</th><th>0</th><th>1</th></tr></thead><tbody><tr><td>0</td><td>{1 / 8}</td><td>{1 / 4}</td></tr><tr><td>1</td><td>{1 / 4}</td><td>{3 / 8}</td></tr></tbody></table></div>

  1. 1. - {1 / 8}
  2. 2. - {1 / 64}
  3. 3. {1 / 64}
  4. 4. {1 / 8}

  정답 2번

  🔍 보기별 해설

  1. −1/8 은 공분산의 크기가 1/64 인 것과 다르다. E(XY)=3/8 에서 E(X)E(Y)=25/64 를 빼면 −1/64 이므로 −1/8 은 해당하지 않는다.
  2. X, Y 가 0 과 1 이라 X²=X, Y²=Y 이고 Cov(X², Y²)=E(XY)−E(X)E(Y)=3/8−25/64=−1/64 이므로 이 보기가 해당한다(정답).
  3. 1/64 는 크기는 맞지만 부호가 반대다. E(XY)=3/8=24/64 에서 E(X)E(Y)=25/64 를 빼면 음수 −1/64 이므로 이 보기는 해당하지 않는다.
  4. 1/8 은 E(XY) 3/8 과 E(X)E(Y) 25/64 의 차 −1/64 와 크기도 부호도 다르다. 그러므로 이 보기는 해당하지 않는다.

  🧮 풀이

  1. 甲은 −1/8 을 답으로 고른 학생이다. 표에서 두 값이 모두 1 인 칸이 3/8 이고 각 변수가 1 일 확률이 5/8 이므로, 곱의 평균에서 평균의 곱을 빼면 −1/64 가 되어 −1/8 이 아님을 알았다.
  2. 甲은 X 와 Y 가 0 과 1 만 가져 제곱해도 값이 같다는 것을 알아본 응시자다. 공분산을 원래 변수의 것으로 바꿔 E(XY)−E(X)E(Y) 를 셈하고 3/8 에서 25/64 를 뺀 −1/64 를 얻었다.
  3. 甲은 크기 1/64 는 맞게 구했지만 부호를 양수로 적은 수험생이다. 곱의 기댓값 24/64 가 기댓값의 곱 25/64 보다 작다는 것을 대조해 공분산이 음수라는 것을 확인하고 이 보기를 버렸다.
  4. 甲은 1/8 을 골랐다가 공분산 공식에 값을 다시 넣은 학생이다. E(XY)=3/8 과 E(X)E(Y)=25/64 의 차가 −1/64 이므로 1/8 이 아니라는 것을 셈해 이 보기를 지웠다.

  X 와 Y 는 0 또는 1 이라 X²=X 이고 Y²=Y 이다. P(X=1)=P(Y=1)=1/4+3/8=5/8 이고 E(XY)=3/8 이므로 Cov(X², Y²)=3/8−(5/8)²=−1/64 이며 2번이 해당한다.